e R=[1,3] \times[2,5], calcule \iint \_R(2+x y) d A.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R = [1,3]\times[2,5] no plano (x,y) e pede para calcular a integral dupla
\iint_R (2 + x\,y)\,dA.
Esse é um caso clássico de integral dupla em região retangular, e vamos usar o Teorema de Fubini para passar a um cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_R (2 + x\,y)\,dA = \int_{y=2}^{5} \int_{x=1}^{3} (2 + x\,y)\,dx\,dy.

Passo 3

Vamos primeiro calcular a integral interna em x:
\int_{x=1}^{3} (2 + x\,y)\,dx = \int_{1}^{3}2\,dx \;+\;\int_{1}^{3} x\,y\,dx.
Como y é constante nessa etapa,
\int_{1}^{3}2\,dx = 2\,(3-1) = 4, \quad \int_{1}^{3} x\,y\,dx = y\int_{1}^{3} x\,dx = y\cdot\frac{3^2 - 1^2}{2} = y\cdot\frac{9-1}{2} =4y.
Logo a integral interna é
\int_{1}^{3} (2 + x\,y)\,dx = 4 + 4y.

Passo 4

Substituindo na integral em y, temos
\int_{y=2}^{5} (4 + 4y)\,dy = \int_{2}^{5}4\,dy \;+\;\int_{2}^{5}4y\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{2}^{5}4\,dy = 4\,(5-2) = 12, \quad \int_{2}^{5}4y\,dy = 4\cdot\frac{5^2 - 2^2}{2} =4\cdot\frac{25-4}{2} =4\cdot\frac{21}{2} =42.
Somando,
12 + 42 = 54.

Resposta

54

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