Qalcule \iint_{-} R\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2\right) d A, onde R=[-a, a] \times[0, b] com a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R}(x^2+y^2)\,dA,
onde o domínio é o retângulo \displaystyle R=[-a,a]\times[0,b] com a,b>0.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Fubini, que permite escrever essa integral como iterada em x e y.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever
\iint_{R}(x^2+y^2)\,dA =\int_{x=-a}^{a}\!\int_{y=0}^{b}(x^2+y^2)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{b}(x^2+y^2)\,dy =\int_{0}^{b}x^2\,dy+\int_{0}^{b}y^2\,dy =x^2\bigl[y\bigr]_{0}^{b}+\bigl[\tfrac{y^3}{3}\bigr]_{0}^{b} =x^2\,b+\frac{b^3}{3}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{-a}^{a}\Bigl(x^2\,b+\frac{b^3}{3}\Bigr)\,dx =b\int_{-a}^{a}x^2\,dx+\frac{b^3}{3}\int_{-a}^{a}dx.
Sabemos que \displaystyle\int_{-a}^{a}x^2\,dx=\tfrac{2a^3}{3} e \displaystyle\int_{-a}^{a}dx=2a. Logo,
b\cdot\frac{2a^3}{3}+\frac{b^3}{3}\cdot2a =\frac{2a^3b}{3}+\frac{2ab^3}{3}.

Passo 5

Fatorando 2ab/3 em comum, obtemos
\frac{2ab}{3}\bigl(a^2+b^2\bigr).

Resposta

\iint_{R}(x^2+y^2)\,dA =\frac{2ab}{3}\,(a^2+b^2).

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