Um bloco de 20 kg desliza por um plano inclinado de 6 m sem atrito, partindo do repouso. Determine a cnergia cinética ao final utilizando conservação de energía.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia cinética do bloco ao final do plano inclinado usando conservação de energia. Informações fornecidas pelo enunciado:
\;m=20\\ \text{kg} (massa do bloco).
\;L=6\\ \text{m} (o enunciado diz “plano inclinado de 6 m” — isto pode significar o comprimento do plano inclinado).
O bloco parte do repouso e não há atrito. A pergunta é: qual é a energia cinética do bloco ao chegar ao final do plano?

Passo 2

Conservação da energia mecânica (explicação didática).
Em um sistema sem atrito e sem forças não conservativas, a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a energia potencial gravitacional perdida ao descer se transforma em energia cinética. As fórmulas que vamos usar são:
\text{energia potencial gravitacional: } U = m g h
\text{energia cinética: } K = \tfrac{1}{2} m v^{2}é
onde:
\;m é a massa (em kg), \;g é a aceleração da gravidade (em \text{m/s}^{2}), \;h é a altura vertical perdida (em m), e \;v é a velocidade final (em \text{m/s}).
Como o bloco parte do repouso, a energia cinética inicial é zero. Portanto, a energia potencial inicial m g h se transforma inteiramente em energia cinética final K.

Passo 3

Equação da conservação de energia aplicada ao problema (derivação direta).
Energia inicial E_{i}=U_{i}+K_{i}=m g h + 0.
Energia final E_{f}=U_{f}+K_{f}=0 + K_{f} (escolhemos como referência de potencial o nível do final do plano).
Igualando E_{i}=E_{f} obtemos:
K_{f} = m g h.
Ou seja, a energia cinética final é numericamente igual à perda de energia potencial.

Passo 4

Relacionando a altura h com o comprimento do plano L e o ângulo \theta.
Se o enunciado fornece o comprimento do plano inclinado L e o ângulo de inclinação \theta, a altura vertical h é
h = L\sin\theta.
Portanto, expressando K em função de L e \theta,
K = m g L \sin\theta.
Explicação do porquê: num triângulo retângulo formado pelo plano inclinado, a componente vertical é justamente L\sin\theta.

Passo 5

Aplicando aos dados do problema (discussão das interpretações).
O enunciado dá L=6\\ \text{m} e não menciona \theta nem a altura h. Temos duas formas de apresentar a resposta, dependendo da interpretação que o professor esperava:
  • forma geral em função de \theta: K = m g L \sin\theta;
  • forma geral em função da altura h: K = m g h.
Se a questão quiser a resposta numérica, precisamos de h ou de \theta. Uma interpretação comum em exercícios é que o número 6\\ \text{m} seja o comprimento do plano; então a resposta numérica exige \theta. Outra interpretação (às vezes usada) é que o bloco desceu verticalmente 6\\ \text{m} (ou seja, h=6\\ \text{m}). Vou apresentar as duas expressões e calcular o valor numérico no caso em que h=6\\ \text{m}.
Usarei \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^{2} (valor padrão).

Passo 6

Cálculo algébrico e numérico quando h é conhecido.
Da fórmula K = m g h, substituindo \;m=20\\ \text{kg}, \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^{2} e mantendo h genérico:
K = 20\cdot 9{,}8 \cdot h = 196\cdot h\\ \text{(J)}.
Se \;h=6\\ \text{m} (interpretação: o bloco desceu 6 m verticalmente), então
K = 196 \cdot 6 = 1176\\ \text{J}.

Passo 7

Cálculo algébrico em função do ângulo (se L=6\\ \text{m} e o ângulo \theta for conhecido).
Usando K = m g L \sin\theta com m=20\\ \text{kg}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^{2} e L=6\\ \text{m},
K = 20\cdot 9{,}8 \cdot 6 \cdot \sin\theta = 1176\sin\theta\\ \text{(J)}.
Assim, se o ângulo \theta for fornecido na prova, basta calcular \sin\theta e multiplicar por 1176.

Resposta

K = m g h = 196\cdot h\\ \text{J}.
K = m g L \sin\theta = 1176\sin\theta\\ \text{J}.
Se a queda vertical for h=6\\ \text{m}, então K = 1176\\ \text{J}.

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