Uma partícula se move ao longo do eixo x. Inicialmente em repouso na origem, ela desloca-se para a direita, atinge sua posição máxima em t=t_{1}, para e retorna, passando pela origem em t=t_{2}. Seu movimento é descrito por:
x(t)=\frac{4}{3} t^{3}-\frac{1}{9} t^{4},
em unidades do Sistema Internacional.
(a) Calcule t_{1} \mathrm{e} a aceleraçāo naquele instante \left(t_{1}\right).
(b) Calcule t_{2} e a velocidade naquele instante ( t_{2} ).
Horário
:

Passo 1

O enunciado nos dá o movimento de uma partícula ao longo do eixo x descrito por
x(t)=\frac{4}{3}\,t^{3}-\frac{1}{9}\,t^{4},
com a partícula em repouso na origem em t=0.
(a) Precisamos achar o instante t_{1} em que ela atinge a posição máxima (isto é, onde a velocidade se anula pela primeira vez após t=0) e calcular a aceleração em t_{1}.
(b) Precisamos achar o instante t_{2} em que ela retorna à origem (exceto t=0) e a velocidade nesse instante.

Passo 2

Para encontrar t_{1}, primeiro obtemos a velocidade derivando x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{4}{3}\,t^{3}-\frac{1}{9}\,t^{4}\Bigr) =4\,t^{2}-\frac{4}{9}\,t^{3}.
A condição de máximo em x(t) é v(t)=0 com t>0.

Passo 3

Resolvendo
4\,t^{2}-\frac{4}{9}\,t^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\,t^{2}\Bigl(1-\frac{t}{9}\Bigr)=0,
obtemos as raízes t=0 (o repouso inicial) e t=9. Descartamos t=0 e ficamos com
t_{1}=9\\ \text{s}.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração genérica e depois avaliamos em t_{1}.
a(t)=\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(4\,t^{2}-\frac{4}{9}\,t^{3}\Bigr) =8\,t-\frac{4}{3}\,t^{2}.
Substituindo t=9:
a(9)=8\cdot9-\frac{4}{3}\cdot9^{2} =72-\frac{4}{3}\cdot81 =72-108 =-36\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 5

Para achar t_{2}, impomos x(t_{2})=0 com t_{2}>0.
\frac{4}{3}\,t_{2}^{3}-\frac{1}{9}\,t_{2}^{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad t_{2}^{3}\Bigl(\frac{4}{3}-\frac{1}{9}\,t_{2}\Bigr)=0.
Isso dá t_{2}=0 ou \frac{4}{3}-\frac{t_{2}}{9}=0. Da segunda condição vem
t_{2}= \frac{4}{3}\times9=12\\ \text{s}.

Passo 6

Finalmente, calculamos a velocidade em t_{2}=12 usando v(t)=4\,t^{2}-\tfrac{4}{9}\,t^{3}:
v(12)=4\cdot12^{2}-\frac{4}{9}\cdot12^{3} =4\cdot144-\frac{4}{9}\cdot1728 =576-768 =-192\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) t_{1}=9\\ \text{s} e a(t_{1})=-36\\ \text{m/s}^{2}.
(b) t_{2}=12\\ \text{s} e v(t_{2})=-192\\ \text{m/s}.

Exercícios relacionados