Um bloco de Amianto ( k=0,173 W / m K ) é de seção transversal quadrada e mede 5 cm de lado na sua extremidade menor, aumentando linearmente até 10 cm de lado na extremidade maior. O bloco tem uma altura de 15 cm . Se a extremidade menor for mantida a 600 K e a extremidade maior a 300 K , qual será a taxa de transferência de calor unidimensional se os quatro lados forem isolados?

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um bloco de amianto em forma de cunha (wedge) com 15 cm de comprimento, cujos lados formam um quadrado que vai de 5 cm (numa ponta) até 10 cm (na outra ponta). A temperatura na ponta menor é 600 K e na maior é 300 K, e os quatro lados estão isolados. A tarefa é achar a taxa de calor que atravessa esse bloco unidimensionalmente.
Matéria envolvida: condução de calor (Lei de Fourier) com área transversal variável. Vamos usar o conceito de resistência térmica diferencial e integrar.

Passo 2

Primeiro, a gente coloca um eixo x ao longo do bloco, de x=0 (lado pequeninho, s₀=5 cm) até x=L (lado grandão, s_L=10 cm), com L=15 cm. Em cada posição x, o lado do quadrado vale
s(x)=s0 + sL - s0L,x,
A área transversal é .

Passo 3

Teoria que a gente usa: Fourier diz que, em regime estacionário e unidimensional, a taxa de calor é
dot Q = -k,A(x),dTdx,
e como dR=dxk,A(x),, é constante ao longo de x, a gente pode definir resistência térmica diferencial
R=integral0^LdR = integral0^Ldxk,A(x),
de modo que a resistência total é
Aí vale .

Passo 4

Vamos achar a = sL - s0L = 0,10-0,050,15 = tfrac13,m^-1, em SI: transformar comprimentos em metros:
s₀=0,05 m, s_L=0,10 m, L=0,15 m.
O coeficiente de variação é
s(x)=0,05 + tfrac13x, A(x)=l(0,05 + tfrac13xr)^2
Então

Passo 5

Calcular R = integral0^Ldxk,(0,05 + tfrac13x)^2 , :
R = 1kintegralu(0)^u(L)3,duu^2 = 3kl[-1ur]0,05^0,10 = 3kl(10,05-10,10r)
Fazendo a integral (substituindo R = 30,173l(20 - 10r) = 3cdot 100,173 approx 173,4;K/W , ):
Substituindo :

Passo 6

Agora a gente usa dot Q = 300173,4 approx 1,73;W , com K:

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente

Exercícios relacionados