Um bloco de Amianto (
) é de seção transversal quadrada e mede 5 cm de lado na sua extremidade menor, aumentando linearmente até 10 cm de lado na extremidade maior. O bloco tem uma altura de 15 cm . Se a extremidade menor for mantida a 600 K e a extremidade maior a 300 K , qual será a taxa de transferência de calor unidimensional se os quatro lados forem isolados?
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos um bloco de amianto em forma de cunha (wedge) com 15 cm de comprimento, cujos lados formam um quadrado que vai de 5 cm (numa ponta) até 10 cm (na outra ponta). A temperatura na ponta menor é 600 K e na maior é 300 K, e os quatro lados estão isolados. A tarefa é achar a taxa de calor que atravessa esse bloco unidimensionalmente.
Matéria envolvida: condução de calor (Lei de Fourier) com área transversal variável. Vamos usar o conceito de resistência térmica diferencial e integrar.
Matéria envolvida: condução de calor (Lei de Fourier) com área transversal variável. Vamos usar o conceito de resistência térmica diferencial e integrar.
Passo 2
Primeiro, a gente coloca um eixo x ao longo do bloco, de x=0 (lado pequeninho, s₀=5 cm) até x=L (lado grandão, s_L=10 cm), com L=15 cm. Em cada posição x, o lado do quadrado vale
A área transversal é
.
Passo 3
Teoria que a gente usa: Fourier diz que, em regime estacionário e unidimensional, a taxa de calor é
e como
é constante ao longo de x, a gente pode definir resistência térmica diferencial
de modo que a resistência total é
Aí vale
.
Passo 4
Vamos achar
em SI: transformar comprimentos em metros:
s₀=0,05 m, s_L=0,10 m, L=0,15 m.
O coeficiente de variação é
s₀=0,05 m, s_L=0,10 m, L=0,15 m.
O coeficiente de variação é
Então
Passo 5
Calcular
:
Fazendo a integral (substituindo
,
):
Substituindo
:
Passo 6
Agora a gente usa
, com
K:
Resposta
A taxa de transferência de calor é aproximadamente