Um bloco com área de 1 \mathrm{~m}^{2} desce uma rampa com inclinação de 30^{\circ} com velocidade de 0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, entre o bloco e a rampa existe um fluido com uma espessura de 1,25 \mathrm{~mm}. Determine a viscosidade do fluido.(Peso do bloco \mathrm{W}=250 \mathrm{~N} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente e exatamente como veio):
  • Área do bloco: A=1\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade do bloco descendo a rampa: U=0,2\\ \mathrm{m/s}.
  • Espessura do filme de fluido entre bloco e rampa: h=1,25\\ \mathrm{mm}.
  • Peso do bloco: W=250\\ \mathrm{N}.
  • Inclinação da rampa: \theta=30^\circ.
O que se pede:
  • Determinar a viscosidade dinâmica do fluido \mu (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).

Passo 2

Entender o modelo físico e as hipóteses (aulas rápidas e diretas para a prova).
  • Quando um bloco desliza sobre um filme fino de fluido entre ele e a rampa, o escoamento no filme é bem aproximado por um escoamento de Couette: o fluido tem uma velocidade zero junto à rampa (não escorrega) e atinge a velocidade do bloco U junto à face inferior do bloco (hipótese de não deslizamento — no-slip).
  • Para um filme fino e escoamento estacionário e simples, o perfil de velocidade do fluido é praticamente linear com a distância y entre as placas, daí a taxa de cisalhamento (gradiente de velocidade) é
\frac{du}{dy} \approx \frac{U}{h}.
  • A tensão de cisalhamento (shear stress) que o fluido exerce é dada pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
\tau = \mu\,\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade (em \mathrm{s^{-1}}).

Passo 3

Converter unidades que faltam e expressar o gradiente:
  • Converter a espessura para metros (pois todas as fórmulas de SI precisam de unidades consistentes):
h = 1,25\\ \mathrm{mm} = 1,25\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Então o gradiente aproximado é
\frac{du}{dy} = \frac{U}{h} = \frac{0,2}{1,25\times 10^{-3}}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Calcular a força viscosa total que resiste ao movimento:
  • A tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{U}{h}.
  • A força viscosa que age no bloco (sobre a área de contato A) é
F_{\mathrm{visc}} = \tau \, A = \mu\,\frac{U}{h}\,A.
Expliquei: essa é a força de atrito viscoso total causada pelo fluido, distribuída em toda a área de contato.

Passo 5

Escrever o equilíbrio de forças ao longo da rampa (condição de velocidade constante):
  • Como o bloco desce com velocidade constante, a soma das forças ao longo da direção da rampa é zero. A componente do peso paralela à rampa puxa o bloco para baixo:
F_{\parallel}=W\sin\theta.
  • Essa componente é equilibrada pela força viscosa para baixo (ou seja, W\sin\theta é igual à força de resistência viscosa):
W\sin\theta = F_{\mathrm{visc}} = \mu\,\frac{U}{h}\,A.
  • Isolando \mu obtemos a fórmula que vamos usar na conta:
\mu = \frac{W\sin\theta\; h}{A\,U}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
  • Primeiro, \sin 30^\circ = 0,5.
  • Colocar tudo na fórmula:
\mu = \frac{250\cdot 0,5 \cdot (1,25\times 10^{-3})}{1 \cdot 0,2}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Calcular o numerador em etapas:
250\cdot 0,5 = 125,
125\cdot 1,25\times 10^{-3} = 125\times 0,00125 = 0,15625.
  • Dividindo pelo denominador:
\mu = \frac{0,15625}{0,2} = 0,78125\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Interpretação curta (útil na prova): o valor encontrado é da ordem de 10^{-0}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, ou seja, muito maior que a da água ( \sim 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}) — o fluido aqui seria bem viscoso (algo mais parecido com óleos espessos ou melidade moderada).

Resposta

0,78125\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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