Um bloco com área de
desce uma rampa com inclinação de
com velocidade de
, entre o bloco e a rampa existe um fluido com uma espessura de
. Determine a viscosidade do fluido.(Peso do bloco
).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente e exatamente como veio):
- Área do bloco:
. - Velocidade do bloco descendo a rampa:
. - Espessura do filme de fluido entre bloco e rampa:
. - Peso do bloco:
. - Inclinação da rampa:
.
O que se pede:
- Determinar a viscosidade dinâmica do fluido
(unidade ).
Passo 2
Entender o modelo físico e as hipóteses (aulas rápidas e diretas para a prova).
- Quando um bloco desliza sobre um filme fino de fluido entre ele e a rampa, o escoamento no filme é bem aproximado por um escoamento de Couette: o fluido tem uma velocidade zero junto à rampa (não escorrega) e atinge a velocidade do bloco
junto à face inferior do bloco (hipótese de não deslizamento — no-slip). - Para um filme fino e escoamento estacionário e simples, o perfil de velocidade do fluido é praticamente linear com a distância
entre as placas, daí a taxa de cisalhamento (gradiente de velocidade) é
- A tensão de cisalhamento (shear stress) que o fluido exerce é dada pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (em ), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em ), -
é o gradiente de velocidade (em ).
Passo 3
Converter unidades que faltam e expressar o gradiente:
- Converter a espessura para metros (pois todas as fórmulas de SI precisam de unidades consistentes):
- Então o gradiente aproximado é
Passo 4
Calcular a força viscosa total que resiste ao movimento:
- A tensão de cisalhamento é
- A força viscosa que age no bloco (sobre a área de contato
) é
Expliquei: essa é a força de atrito viscoso total causada pelo fluido, distribuída em toda a área de contato.
Passo 5
Escrever o equilíbrio de forças ao longo da rampa (condição de velocidade constante):
- Como o bloco desce com velocidade constante, a soma das forças ao longo da direção da rampa é zero. A componente do peso paralela à rampa puxa o bloco para baixo:
- Essa componente é equilibrada pela força viscosa para baixo (ou seja,
é igual à força de resistência viscosa):
- Isolando
obtemos a fórmula que vamos usar na conta:
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
- Primeiro,
. - Colocar tudo na fórmula:
- Calcular o numerador em etapas:
- Dividindo pelo denominador:
Passo 7
Interpretação curta (útil na prova): o valor encontrado é da ordem de
, ou seja, muito maior que a da água (
) — o fluido aqui seria bem viscoso (algo mais parecido com óleos espessos ou melidade moderada).