Em um viscosímetro do tipo Hoepler, foram feitas uma série de medidas da viscosidade cinemática da glicerina ( \rho=1,261 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{-3} ; \eta=1200 \mathrm{cp} ). Foram utilizadas nestas medidas 3 bolas diferentes ( \rho_{1}=7,91 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} ; \rho_{2}=7,806 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} ; \rho_{3}=7,072 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} ) cujos respectivos tempos medidos foram: 0,98 \mathrm{~s} ; 1,00 \mathrm{~s} ; 1,12 \mathrm{~s}. Determine a constante do aparelho.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números estão nas unidades indicadas pelo enunciado):
  • Densidade do fluido (glicerina): \rho=1,261\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica conhecida: \eta=1200\\ \mathrm{cp}.
  • Três esferas usadas (densidades das esferas em \mathrm{g/cm^{3}}) e tempos medidos (em s):
    • Esfera 1: \rho_{1}=7,91\\ \mathrm{g/cm^{3}}, t_{1}=0,98\\ \mathrm{s}.
    • Esfera 2: \rho_{2}=7,806\\ \mathrm{g/cm^{3}}, t_{2}=1,00\\ \mathrm{s}.
    • Esfera 3: \rho_{3}=7,072\\ \mathrm{g/cm^{3}}, t_{3}=1,12\\ \mathrm{s}.
O que o problema pede:
  • Determinar a constante do aparelho (chamaremos de K) a partir dos dados acima.

Passo 2

Primeiro uniformizar unidades da viscosidade para trabalhar com as densidades dadas em \mathrm{g/cm^{3}}. O enunciado dá \eta em centipoise ( \mathrm{cp}). A relação é:
1\\ \mathrm{cp}=0{,}01\\ \mathrm{P}, \qquad 1\\ \mathrm{P}=1\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm\cdot s}}.
Portanto
\eta = 1200\\ \mathrm{cp} = 1200 \times 0{,}01\\ \mathrm{P}=12\\ \mathrm{P}=12\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm\cdot s}}.
Agora temos \eta na unidade compatível com as densidades em \mathrm{g/cm^{3}} e tempos em \mathrm{s}.

Passo 3

Explicar a relação usada (passo didático): no viscosímetro de Höppler a esfera atinge velocidade terminal ao cair pelo líquido; a partir da força de arrasto (lei de Stokes) e equilíbrio com peso aparente chega-se a uma relação da forma
\eta = K\,(\rho_{s}-\rho)\,t,
onde:
  • \eta é a viscosidade dinâmica do líquido (aqui conhecida),
  • K é a constante do aparelho (depende do raio da esfera, da distância de queda, e de constantes geométricas e gravitacionais),
  • \rho_{s} é a densidade da esfera,
  • \rho é a densidade do líquido,
  • t é o tempo de queda medido.
Comentário simples sobre origem: a fórmula vem de escrever a velocidade terminal v=L/t (distância fixa L do aparelho) e usar a expressão de Stokes para a força de arrasto; os fatores geométricos e g e L ficam agrupados em K. Na prova, decorar a forma \eta = K(\rho_s-\rho)t e saber isolar K costuma ser suficiente.

Passo 4

Isolando K na fórmula obtemos a expressão que usaremos para cada medida:
K=\frac{\eta}{(\rho_{s}-\rho)\,t}.
Aqui \eta está em \mathrm{g/(cm\cdot s)}, \rho_s e \rho em \mathrm{g/cm^{3}} e t em \mathrm{s}. Com essas unidades K fica em \mathrm{cm^{2}/s^{2}} (unidade consistente para a constante do aparelho nessa forma).

Passo 5

Calcular K para a esfera 1 usando \rho_{1}=7,91\\ \mathrm{g/cm^{3}} e t_{1}=0,98\\ \mathrm{s}.
Primeiro calcular a diferença de densidades:
\rho_{1}-\rho = 7{,}91 - 1{,}261 = 6{,}649\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Multiplicar pela tempo:
(\rho_{1}-\rho)\,t_{1} = 6{,}649\times 0{,}98 = 6{,}51602\\ \mathrm{g/(cm^{3}\cdot s)}.
Agora aplicar a fórmula de K:
K_{1}=\frac{\eta}{(\rho_{1}-\rho)\,t_{1}}=\frac{12}{6{,}51602}=1{,}8424\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}.

Passo 6

Calcular K para a esfera 2 usando \rho_{2}=7,806\\ \mathrm{g/cm^{3}} e t_{2}=1{,}00\\ \mathrm{s}.
Diferença de densidades:
\rho_{2}-\rho = 7{,}806 - 1{,}261 = 6{,}545\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Multiplicando pelo tempo:
(\rho_{2}-\rho)\,t_{2} = 6{,}545\times 1{,}00 = 6{,}545.
Fórmula de K:
K_{2}=\frac{12}{6{,}545}=1{,}8338\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}.

Passo 7

Calcular K para a esfera 3 usando \rho_{3}=7{,}072\\ \mathrm{g/cm^{3}} e t_{3}=1{,}12\\ \mathrm{s}.
Diferença de densidades:
\rho_{3}-\rho = 7{,}072 - 1{,}261 = 5{,}811\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Multiplicando pelo tempo:
(\rho_{3}-\rho)\,t_{3} = 5{,}811 \times 1{,}12 = 6{,}50632.
Fórmula de K:
K_{3}=\frac{12}{6{,}50632}=1{,}8443\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}.

Passo 8

Verificar consistência e obter valor final: os três valores encontrados são
K_{1}=1{,}8424,\qquad K_{2}=1{,}8338,\qquad K_{3}=1{,}8443\quad(\mathrm{cm^{2}/s^{2}}).
A média aritmética (boa estimativa da constante do aparelho) é
\overline{K}=\frac{K_{1}+K_{2}+K_{3}}{3}=\frac{1{,}8424+1{,}8338+1{,}8443}{3}=1{,}8402\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}.
Uma medida de dispersão (desvio padrão amostral) é pequena:
s\approx 0{,}0056\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}},
portanto podemos apresentar a constante com uma estimativa de incerteza razoável:
K=(1{,}840\pm 0{,}006)\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}.

Resposta

K=1{,}840\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}} (valor médio; incerteza aproximada \pm 0{,}006\\ \mathrm{cm^{2}/s^{2}}).

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