Em um viscosímetro do tipo Hoepler, foram feitas uma série de medidas da viscosidade cinemática da glicerina (
). Foram utilizadas nestas medidas 3 bolas diferentes (
) cujos respectivos tempos medidos foram:
. Determine a constante do aparelho.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (todos os números estão nas unidades indicadas pelo enunciado):
- Densidade do fluido (glicerina):
. - Viscosidade dinâmica conhecida:
. - Três esferas usadas (densidades das esferas em
) e tempos medidos (em s): - Esfera 1:
, . - Esfera 2:
, . - Esfera 3:
, .
- Esfera 1:
O que o problema pede:
- Determinar a constante do aparelho (chamaremos de
) a partir dos dados acima.
Passo 2
Primeiro uniformizar unidades da viscosidade para trabalhar com as densidades dadas em
. O enunciado dá
em centipoise (
). A relação é:
Portanto
Agora temos
na unidade compatível com as densidades em
e tempos em
.
Passo 3
Explicar a relação usada (passo didático): no viscosímetro de Höppler a esfera atinge velocidade terminal ao cair pelo líquido; a partir da força de arrasto (lei de Stokes) e equilíbrio com peso aparente chega-se a uma relação da forma
onde:
-
é a viscosidade dinâmica do líquido (aqui conhecida), -
é a constante do aparelho (depende do raio da esfera, da distância de queda, e de constantes geométricas e gravitacionais), -
é a densidade da esfera, -
é a densidade do líquido, -
é o tempo de queda medido.
Comentário simples sobre origem: a fórmula vem de escrever a velocidade terminal
(distância fixa
do aparelho) e usar a expressão de Stokes para a força de arrasto; os fatores geométricos e
e
ficam agrupados em
. Na prova, decorar a forma
e saber isolar
costuma ser suficiente.
Passo 4
Isolando
na fórmula obtemos a expressão que usaremos para cada medida:
Aqui
está em
,
e
em
e
em
. Com essas unidades
fica em
(unidade consistente para a constante do aparelho nessa forma).
Passo 5
Calcular
para a esfera 1 usando
e
.
Primeiro calcular a diferença de densidades:
Multiplicar pela tempo:
Agora aplicar a fórmula de
:
Passo 6
Calcular
para a esfera 2 usando
e
.
Diferença de densidades:
Multiplicando pelo tempo:
Fórmula de
:
Passo 7
Calcular
para a esfera 3 usando
e
.
Diferença de densidades:
Multiplicando pelo tempo:
Fórmula de
:
Passo 8
Verificar consistência e obter valor final: os três valores encontrados são
A média aritmética (boa estimativa da constante do aparelho) é
Uma medida de dispersão (desvio padrão amostral) é pequena:
portanto podemos apresentar a constante com uma estimativa de incerteza razoável: