Um bloco de cobre de 50,0 \mathrm{~g} cuja temperatura é 400 K é colocado em uma caixa isolante junto com um bloco idêntico de chumbo cuja temperatura é 200 K .
(a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema dos dois blocos? Resposta: \mathbf{T}_{\mathbf{e}}=\mathbf{3 5 0 ~ K}
(b) Qual é a variação na energia interna do sistema entre o estado inicial e o estado de equilíbrio?
Resposta: \boldsymbol{\Delta} \mathbf{U}=\mathbf{0}
(c) Qual a variação de entropia de cada bloco e a variação de entropia total do processo? Resposta: \Delta \mathbf{S}_{\mathbf{c o b r e}} =-\mathbf{2 , 5 7} \mathbf{~ J} / \mathbf{K} ; \boldsymbol{\Delta} \mathbf{S}_{\text {chumbo }}=\mathbf{3 , 6 4} \mathbf{~ J} / \mathbf{K} ; \boldsymbol{\Delta} \mathbf{S}_{\text {total }}=\mathbf{1 , 0 7} \mathbf{~ J} / \mathbf{K}
Dados: Calor Específico do Cobre =0,385 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K}; Calor Específico do Chumbo =0,130 \mathrm{~J} / \mathrm{g} \cdot \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) A temperatura de equilíbrio do sistema formado por dois blocos colocados em uma caixa isolante.
  2. (b) A variação da energia interna do sistema entre o estado inicial e o estado de equilíbrio.
  3. (c) A variação de entropia de cada bloco e a variação de entropia total do processo.
Informações fornecidas (vou listar exatamente os dados que temos):
m_{\text{cobre}}=50{,}0\\ \mathrm{g},\qquad T_{\text{cobre,\,inicial}}=400\\ \mathrm{K},
m_{\text{chumbo}}=50{,}0\\ \mathrm{g},\qquad T_{\text{chumbo,\,inicial}}=200\\ \mathrm{K},
c_{\text{cobre}}=0{,}385\\ \mathrm{J/(g\cdot K)},\qquad c_{\text{chumbo}}=0{,}130\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.

Passo 2

Encontrando a temperatura de equilíbrio T_e por conservação de energia (a caixa é isolante, logo calor perdido por um bloco = calor ganho pelo outro).
Defino variáveis:
T_e = \text{temperatura final de equilíbrio},í
Q_{\text{cobre}} = m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}}(T_e-T_{\text{cobre,\,inicial}}),
Q_{\text{chumbo}} = m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}}(T_e-T_{\text{chumbo,\,inicial}}).
Conservação de energia (nenhum calor sai do sistema):
Q_{\text{cobre}} + Q_{\text{chumbo}} = 0.
Substituindo as expressões:
m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}}(T_e-T_{\text{cobre,\,inicial}}) + m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}}(T_e-T_{\text{chumbo,\,inicial}})=0.
Isolando T_e:
T_e=\frac{m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}} T_{\text{cobre,\,inicial}} + m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}} T_{\text{chumbo,\,inicial}}} {m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}} + m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}}}.
Agora substituo os números (atenção: massas em gramas e calores específicos em \mathrm{J/(g\cdot K)} são coerentes entre si):
\text{numerador}=50{,}0\cdot 0{,}385\cdot 400 + 50{,}0\cdot 0{,}130\cdot 200.
Calculo passo a passo:
0{,}385\cdot 400 = 154{,}0,\qquad 0{,}130\cdot 200 = 26{,}0,
\text{numerador}=50{,}0\cdot(154{,}0+26{,}0)=50{,}0\cdot 180{,}0=9000{,}0.
O denominador:
\text{denominador}=50{,}0\cdot(0{,}385+0{,}130)=50{,}0\cdot 0{,}515=25{,}75.
Portanto
T_e=\frac{9000{,}0}{25{,}75}=349{,}5145631\ldots\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma coerente com os dados (3 algarismos significativos das massas), obtemos
T_e \approx 350\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Variação da energia interna do sistema entre o estado inicial e o estado de equilíbrio.
Conceito importante (explicando devagar): para sólidos simples em processos onde só há trocas de calor e a pressão não muda de forma exotérmica, a variação de energia interna de cada corpo pode ser calculada por
\Delta U = m c \Delta T = m c (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}),
onde m é a massa (em gramas, se c estiver em \mathrm{J/(g\cdot K)}), c é o calor específico e \Delta T é a variação de temperatura.
Como o sistema é isolado (não entra nem sai energia), a variação total da energia interna do sistema deve ser zero:
\Delta U_{\text{sistema}}=\Delta U_{\text{cobre}}+\Delta U_{\text{chumbo}}=0.
Mostro simbolicamente que isso ocorre: da equação de conservação de energia usada no Passo 2, temos exatamente
m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}}(T_e-T_{\text{cobre,\,inicial}}) + m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}}(T_e-T_{\text{chumbo,\,inicial}})=0,
que é \Delta U_{\text{cobre}}+\Delta U_{\text{chumbo}}=0. Logo
\Delta U_{\text{sistema}}=0.
Se quisermos ver os valores numéricos (usando o T_e não arredondado dá soma exatamente zero; usando T_e arredondado pode aparecer um pequeno resíduo devido ao arredondamento). Exemplo com T_e=349{,}5145631\ldots:
\Delta U_{\text{cobre}}=50{,}0\cdot 0{,}385\cdot(349{,}5145631-400)=-975{,}0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{\text{chumbo}}=50{,}0\cdot 0{,}130\cdot(349{,}5145631-200)=975{,}0\\ \mathrm{J}
soma 0\\ \mathrm{J}. (Se usar T_e\approx350\\ \mathrm{K} os números ficam: \Delta U_{\text{cobre}}\approx -962{,}5\\ \mathrm{J} e \Delta U_{\text{chumbo}}\approx 975{,}0\\ \mathrm{J}, soma \approx 12{,}5\\ \mathrm{J} — esse resíduo é só do arredondamento.)
Conclusão: \Delta U_{\text{sistema}}=0.

Passo 4

Como calcular a variação de entropia de cada bloco: teoria e fórmula usada.
A definição termodinâmica da variação de entropia para um processo reversível é
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm{d}Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um corpo com calor específico constante c (por unidade de massa) e massa m, a quantidade reversível de calor trocada ao variar a temperatura de T_i a T_f é \mathrm{d}Q_{\text{rev}}=m c\,\mathrm{d}T. Substituindo na integral:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\,\mathrm{d}T}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Explicando as variáveis:
  • m é a massa (em g se c em \mathrm{J/(g\cdot K)});
  • c é o calor específico \mathrm{J/(g\cdot K)};
  • T_i e T_f são temperaturas inicial e final em K;
  • \ln é o logaritmo natural.
Observação conceitual importante (tranquiliza): embora a troca real entre os blocos seja irreversível, a variação de entropia de cada bloco entre seus estados inicial e final é bem definida e pode ser calculada integrando um caminho reversível entre esses estados (é padrão em termodinâmica calcular \Delta S assim).

Passo 5

Cálculo numérico da variação de entropia do cobre.
Fórmula:
\Delta S_{\text{cobre}} = m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}} \ln\!\left(\frac{T_e}{T_{\text{cobre,\,inicial}}}\right).
Substituindo números:
m_{\text{cobre}} c_{\text{cobre}} = 50{,}0\cdot 0{,}385 = 19{,}25\\ \mathrm{J/K}.
\ln\!\left(\frac{T_e}{T_{\text{cobre,\,inicial}}}\right)=\ln\!\left(\frac{350}{400}\right)=\ln(0{,}875)\approx -0{,}13353139.
Multiplicando:
\Delta S_{\text{cobre}} = 19{,}25\cdot(-0{,}13353139)\approx -2{,}569\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando adequadamente:
\Delta S_{\text{cobre}}\approx -2{,}57\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Cálculo numérico da variação de entropia do chumbo.
Fórmula:
\Delta S_{\text{chumbo}} = m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}} \ln\!\left(\frac{T_e}{T_{\text{chumbo,\,inicial}}}\right).
Substituindo números:
m_{\text{chumbo}} c_{\text{chumbo}} = 50{,}0\cdot 0{,}130 = 6{,}50\\ \mathrm{J/K}.
\ln\!\left(\frac{T_e}{T_{\text{chumbo,\,inicial}}}\right)=\ln\!\left(\frac{350}{200}\right)=\ln(1{,}75)\approx 0{,}55961579.
Multiplicando:
\Delta S_{\text{chumbo}} = 6{,}50\cdot 0{,}55961579\approx 3{,}6375\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando:
\Delta S_{\text{chumbo}}\approx 3{,}64\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Variação de entropia total do processo.
Somando as contribuições:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{cobre}}+\Delta S_{\text{chumbo}} \approx -2{,}569 + 3{,}6375 = 1{,}0685\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando:
\Delta S_{\text{total}}\approx 1{,}07\\ \mathrm{J/K}.
Comentário final curto e motivador: note que \Delta S_{\text{total}}>0, como deve ocorrer para um processo irreversível isolado — a entropia total aumenta. Boa! Você já tem todas as contas e pode reproduzir isso na prova seguindo os passos.

Resposta

(a) \;T_e=350\\ \mathrm{K}\n
(b) \;\Delta U_{\text{sistema}}=0\\ \mathrm{J}\n
(c) \;\Delta S_{\text{cobre}}=-2{,}57\\ \mathrm{J/K}\n
\;\Delta S_{\text{chumbo}}=3{,}64\\ \mathrm{J/K}\n
\;\Delta S_{\text{total}}=1{,}07\\ \mathrm{J/K}

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