Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância \mathrm{x}=11 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio em \mathrm{x}=0 e liberado sem velocidade inicial no instante t=0.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento
(b) Determine a amplitude das oscilações.
(c) Determine a velocidade máxima vm do bloco e o local em que se encontra o bloco quando tem essa velocidade.
(d) Determine o módulo am da aceleração máxima do bloco.
(e) Determine a constante de fase o do movimento.
(f) Determine a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples de um bloco de massa m=680\\ \mathrm{g} preso a uma mola de constante elástica k=65\\ \mathrm{N/m}. O bloco é deslocado x_0=11\\ \mathrm{cm} da posição de equilíbrio e solto em t=0 sem velocidade inicial. Precisamos usar a fórmula da frequência angular \omega=\sqrt{k/m} e as relações do MHS para achar frequência, período, amplitude, velocidade e aceleração máximas, fase inicial e função x(t).

Passo 2

Primeiro convertemos a massa para o SI: m=0,68\\ \mathrm{kg}. Calculamos a frequência angular:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{65}{0,68}}\approx 9,78\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência é dada por
f = \frac{\omega}{2\pi}\approx \frac{9,78}{2\pi}\approx 1,56\\ \mathrm{Hz},
e o período vale
T = \frac{1}{f}\approx 0,643\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Como no instante t=0 o bloco parte de x(0)=x_0 e com velocidade zero, a amplitude do movimento é exatamente
A = x_0 = 0,11\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A velocidade máxima em MHS ocorre ao passar pela posição de equilíbrio e vale
v_{\max} = A\,\omega = 0,11 \times 9,78 \approx 1,08\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, o bloco atinge v_{\max} quando x=0.

Passo 5

A aceleração máxima ocorre nos extremos do movimento e tem módulo
a_{\max} = A\,\omega^2 = 0,11\times(9,78)^2\approx 10,52\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

A fase inicial \varphi no modelo
x(t)=A\cos(\omega t + \varphi)
satisfaz x(0)=A\cos\varphi = A, de onde \cos\varphi=1. Logo,
\varphi = 0.

Passo 7

Substituindo tudo, a função deslocamento fica
x(t) = 0,11\cos\bigl(9,78\,t\bigr)\quad(\mathrm{m}).

Resposta

(a) \omega=9,78\\ \mathrm{rad/s}, f=1,56\\ \mathrm{Hz}, T=0,643\\ \mathrm{s}
(b) A=0,11\\ \mathrm{m}
(c) v_{\max}=1,08\\ \mathrm{m/s}, ocorre em x=0
(d) a_{\max}=10,52\\ \mathrm{m/s^2}
(e) \varphi=0
(f) x(t)=0,11\cos\bigl(9,78\,t\bigr)

Exercícios relacionados