Exercício 5.15 Considere a regiāo \Omega limitada pelas curvas r=2 e r=2+2 \cos (\theta), no primeiro quadrante. Logo determine a integral dupla:
\iint_{\Omega} f(r, \theta) d A
Sendo dA o elemento de área infinitesimal no plano x y, e f(r, \theta)=\cos (\theta).

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{\Omega}f(r,\theta)\,dA
onde \Omega é a região no primeiro quadrante delimitada por
r=2 \quad\text{e}\quad r=2+2\cos\theta,
e f(r,\theta)=\cos\theta.
Para resolver, usaremos coordenadas polares, em que dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de
\theta=0 \quad\text{até}\quad \theta=\frac{\pi}{2}.é
Em cada \theta fixo, r vai de 2 (círculo interno) até 2+2\cos\theta (curva externa).

Passo 3

Em coordenadas polares a integral vira
\iint_{\Omega}\cos\theta\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2}^{\,2+2\cos\theta}\cos\theta\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{2}^{2+2\cos\theta}r\,dr = \left.\frac{r^2}{2}\right|_{2}^{2+2\cos\theta} = \frac{(2+2\cos\theta)^2-4}{2} = 4\cos\theta+2\cos^2\theta.
Multiplicando por \cos\theta (do integrando) obtemos o integrando em \theta:
\cos\theta\bigl(4\cos\theta+2\cos^2\theta\bigr) = 4\cos^2\theta+2\cos^3\theta.

Passo 5

Agora calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(4\cos^2\theta+2\cos^3\theta\bigr)d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta + 2\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta.
Usando
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta = \frac{2}{3},
segue-se
4\cdot\frac{\pi}{4} + 2\cdot\frac{2}{3} = \pi + \frac{4}{3}.

Resposta

\iint_{\Omega}f(r,\theta)\,dA = \pi+\frac{4}{3}.

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