Exercício 5.27 Das afirmaçōes seguintes quais sāo verdadeiras ou falsa e justifique:
Considere a transformaçāo de coordenadas T: x=a r \cos (\theta), y=b r \sin (\theta). A Jacobiana de transformaçāo de coordenadas polares ( r, \theta ) às coordenadas cartesianas ( x, y ) é J=a b r, a>0, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a Jacobiana da transformação
T\colon (r,\theta)\mapsto(x,y),\quad x=a\,r\cos(\theta),\;y=b\,r\sin(\theta),
com a>0 e b>0, é J=a b r. Para isso, precisamos usar derivadas parciais e determinante da matriz Jacobiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta:
\frac{\partial x}{\partial r}=a\cos(\theta), \quad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-a\,r\sin(\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial r}=b\sin(\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=b\,r\cos(\theta).
Assim a matriz Jacobiana é
\begin{pmatrix} a\cos(\theta)& -a\,r\sin(\theta)\\\ b\sin(\theta)& b\,r\cos(\theta) \end{pmatrix}.

Passo 3

O determinante dessa matriz é
J =\bigl(a\cos(\theta)\bigr)\bigl(b\,r\cos(\theta)\bigr) - \bigl(-a\,r\sin(\theta)\bigr)\bigl(b\sin(\theta)\bigr) = a\,b\,r\bigl(\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr) = a\,b\,r.

Passo 4

Portanto, a afirmação de que a Jacobiana é J=a b r (com a>0, b>0) é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados