Um bloco desliza sobre uma superfície sem atrito preso a uma mola. Usando o formalismo de Lagrange e o princípio da mínima ação, derive a equação do movimento do sistema.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
que desliza sem atrito preso a uma mola de constante elástica
. O objetivo é usar o formalismo de Lagrange e o princípio da ação mínima para obter a equação de movimento. Vamos precisar das expressões da energia cinética, da energia potencial elástica e da equação de Euler–Lagrange.
Passo 2
Escolhemos como coordenada generalizada a posição do bloco ao longo da linha da mola,
. A energia cinética é
e a energia potencial armazenada na mola é
Passo 3
A Lagrangiana é definida por
. Substituindo,
Passo 4
Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada
:
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtém-se
Resposta
A equação de movimento do sistema é
que descreve um oscilador harmônico simples.