Um bloco desliza sobre uma superfície sem atrito preso a uma mola. Usando o formalismo de Lagrange e o princípio da mínima ação, derive a equação do movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m que desliza sem atrito preso a uma mola de constante elástica k. O objetivo é usar o formalismo de Lagrange e o princípio da ação mínima para obter a equação de movimento. Vamos precisar das expressões da energia cinética, da energia potencial elástica e da equação de Euler–Lagrange.

Passo 2

Escolhemos como coordenada generalizada a posição do bloco ao longo da linha da mola, x(t). A energia cinética é
T = \tfrac12\,m\,\dot{x}^2
e a energia potencial armazenada na mola é
U = \tfrac12\,k\,x^2.

Passo 3

A Lagrangiana é definida por L = T - U. Substituindo,
L = \tfrac12\,m\,\dot{x}^2 \;-\;\tfrac12\,k\,x^2.

Passo 4

Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada x:
\frac{d}{dt}\biggl(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\biggr) \;-\; \frac{\partial L}{\partial x} =0.

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\,\dot{x}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(m\,\dot{x}\bigr) = m\,\ddot{x}, \quad \frac{\partial L}{\partial x} = -\,k\,x.
Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtém-se
m\,\ddot{x} + k\,x = 0.

Resposta

A equação de movimento do sistema é
m\,\ddot{x} + k\,x = 0,
que descreve um oscilador harmônico simples.

Exercícios relacionados