No caso de um pêndulo simples, discuta como o equilíbrio estável em posição vertical para baixo pode ser deduzido a partir do princípio da mínima energia potencial.

Passo 1

O enunciado considera um pêndulo simples de massa m preso numa haste de comprimento L sob a ação da gravidade g. Queremos mostrar, pelo princípio da energia potencial mínima, que a posição de equilíbrio estável é a vertical para baixo, ou seja \theta=0, onde \theta é o ângulo medido a partir da vertical para baixo.

Passo 2

Escrevemos a energia potencial gravitacional U(\theta) escolhendo como referência U=0 quando o corpo está na posição mais baixa \theta=0. A altura do corpo em relação a essa referência é
y = L\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
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U(\theta) = m g\,y = m g L\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

Passo 3

Para encontrar equilíbrios, impomos
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta}=0.
Calculamos
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta} = m g L\,\sin\theta,
e igualando a zero temos
\sin\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.
As posições possíveis são \theta=0 (vertical para baixo) e \theta=\pi (vertical para cima).

Passo 4

O princípio da energia potencial mínima diz que equilíbrios estáveis ocorrem em mínimos de U. Verificamos a segunda derivada:
\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} = m g L\,\cos\theta.
Em \theta=0 temos \cos0=1, logo
\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2}\Big|_{\theta=0} = m g L > 0,
confirmando mínimo de U (equilíbrio estável). Em \theta=\pi aparece \cos\pi=-1, logo segundo derivada negativa (máximo de U, equilíbrio instável).

Passo 5

Concluímos que, pelo princípio da energia potencial mínima, a posição \theta=0 (vertical para baixo) é o ponto de energia potencial mínima e portanto é o equilíbrio estável do pêndulo simples.

Resposta

A posição de equilíbrio estável é \theta=0, pois é o mínimo da energia potencial U(\theta)=m g L(1-\cos\theta).

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