Um fio homogêneo flexível, preso em duas extremidades de mesma altura, assume a forma de uma curva quando suspenso sob ação da gravidade. Explique, com base no princípio da mínima energia, por que a forma do fio corresponde a uma catenária e não a uma parábola.

Passo 1

O problema pede a forma da curva que um fio homogêneo e flexível, de comprimento fixo, assume quando está preso em duas extremidades de mesma altura e submetido apenas à gravidade. O conteúdo é cálculo variacional: vamos usar o princípio da mínima energia potencial, impondo o comprimento fixo como restrição.

Passo 2

Denotemos a curva por y(x), com x o eixo horizontal e y a altura. A energia potencial do fio é
U[y]=\int_{x_1}^{x_2}\rho g\,y\,\mathrm{d}s,
onde \rho é a densidade linear, g a gravidade e \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x. Como o comprimento total deve ser L fixo, impomos a restrição
\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x = L.

Passo 3

Usamos um multiplicador de Lagrange \lambda e consideramos a funcional
J[y]=\int_{x_1}^{x_2}\bigl(\rho g\,y + \lambda\bigr)\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x.
Aplicando a equação de Euler–Lagrange
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y'}\Bigr)=0
com \mathcal{L}=(\rho g\,y+\lambda)\sqrt{1+y'^2}, obtemos a condição
\frac{\rho g}{\sqrt{1+y'^2}} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\Bigl(\frac{(\rho g\,y+\lambda)\,y'}{\sqrt{1+y'^2}}\Bigr)=0.
Integramos uma vez em x e chega-se a
\frac{\rho g\,y+\lambda}{\sqrt{1+y'^2}}=T_0,
onde T_0 é constante de integração (tensão mínima).

Passo 4

Reescrevendo
\sqrt{1+y'^2}=\frac{\rho g\,y+\lambda}{T_0},
temos
y'^2 = \Bigl(\frac{\rho g\,y+\lambda}{T_0}\Bigr)^2 -1.
Definindo a = T_0/(\rho g) e ajustando a constante de translação, a solução geral desta EDO é
y(x)=a\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x-x_0}{a}\bigr)+y_0,
que é a equação de uma catenária.

Passo 5

A parábola surge apenas em aproximações (por exemplo, quando se assume y'^2\ll1 e distribui carga uniformemente em x), mas o minimizador exato da energia potencial com comprimento fixo leva ao cosseno hiperbólico. Portanto a curva de equilíbrio do fio é a catenária, não a parábola.

Resposta

A forma de equilíbrio do fio é
y(x)=a\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x-x_0}{a}\bigr)+y_0,
ou seja, uma catenária, pois só ela satisfaz o princípio da mínima energia potencial com a restrição de comprimento fixo.

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