Um fio homogêneo flexível, preso em duas extremidades de mesma altura, assume a forma de uma curva quando suspenso sob ação da gravidade. Explique, com base no princípio da mínima energia, por que a forma do fio corresponde a uma catenária e não a uma parábola.
Passo 1
O problema pede a forma da curva que um fio homogêneo e flexível, de comprimento fixo, assume quando está preso em duas extremidades de mesma altura e submetido apenas à gravidade. O conteúdo é cálculo variacional: vamos usar o princípio da mínima energia potencial, impondo o comprimento fixo como restrição.
Passo 2
Denotemos a curva por
, com
o eixo horizontal e
a altura. A energia potencial do fio é
onde
é a densidade linear,
a gravidade e
. Como o comprimento total deve ser
fixo, impomos a restrição
Passo 3
Usamos um multiplicador de Lagrange
e consideramos a funcional
Aplicando a equação de Euler–Lagrange
com
, obtemos a condição
Integramos uma vez em
e chega-se a
onde
é constante de integração (tensão mínima).
Passo 4
Reescrevendo
temos
Definindo
e ajustando a constante de translação, a solução geral desta EDO é
que é a equação de uma catenária.
Passo 5
A parábola surge apenas em aproximações (por exemplo, quando se assume
e distribui carga uniformemente em
), mas o minimizador exato da energia potencial com comprimento fixo leva ao cosseno hiperbólico. Portanto a curva de equilíbrio do fio é a catenária, não a parábola.
Resposta
A forma de equilíbrio do fio é
ou seja, uma catenária, pois só ela satisfaz o princípio da mínima energia potencial com a restrição de comprimento fixo.