Explique em que consiste o princípio da mínima ação de Hamilton e como ele se relaciona com o princípio da mínima energia potencial em sistemas em equilíbrio estático.

Passo 1

O enunciado pergunta o que diz o princípio da mínima ação de Hamilton e como esse princípio conecta-se ao princípio da mínima energia potencial em equilíbrio estático. O conteúdo é Mecânica Analítica (formulação lagrangiana) e estática de sistemas conservativos.

Passo 2

O princípio da mínima ação de Hamilton afirma que, entre dois instantes fixos t_1 e t_2 e dadas posições fixas nas fronteiras, o verdadeiro trajeto q(t) de um sistema mecânico faz com que a quantidade chamada ação
S[q] \;=\; \int_{t_1}^{t_2} L\bigl(q,\dot q,t\bigr)\,\mathrm{d}t
seja estacionária (extremo, que normalmente é um mínimo local). Aqui L=T-V é a lagrangiana, com T energia cinética e V energia potencial.

Passo 3

Para encontrar o trajeto que torna S estacionária aplicamos variações \delta q(t) que anulam as fronteiras ( \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0). Exigindo
\delta S = 0
obtém-se as equações de Euler–Lagrange:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr) \;-\;\frac{\partial L}{\partial q} \;=\;0,
que são exatamente as equações de movimento do sistema.

Passo 4

No caso estático de equilíbrio de um sistema conservativo, a velocidade e, portanto, a energia cinética são nulas em todo instante ( T=0). A lagrangiana torna-se
L = T - V = -V
e a ação fica
S = \int_{t_1}^{t_2} (-V)\,\mathrm{d}t = -\int_{t_1}^{t_2} V\,\mathrm{d}t.
Para que \delta S=0 deve ocorrer \delta V=0 em cada ponto do intervalo, isto é, a configuração de equilíbrio torna estacionária (e localmente mínima) a energia potencial.

Passo 5

Portanto, o princípio da mínima ação de Hamilton generaliza o princípio da mínima energia potencial: em dinâmica o caminho minimiza (estacionariza) a ação S, enquanto em estático — caso especial em que T\equiv0 — isso reduz ao fato de o equilíbrio ocorrer quando a energia potencial é mínima.

Resposta

O princípio da mínima ação de Hamilton diz que o movimento real de um sistema entre instantes fixos torna estacionária a ação
S=\int_{t_1}^{t_2}(T-V)\,\mathrm{d}t,
levando às equações de Euler–Lagrange. No limite estático, com T=0, isso implica \delta V=0, ou seja, o equilíbrio estático corresponde à configuração de mínima energia potencial.

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