Explique em que consiste o princípio da mínima ação de Hamilton e como ele se relaciona com o princípio da mínima energia potencial em sistemas em equilíbrio estático.
Passo 1
O enunciado pergunta o que diz o princípio da mínima ação de Hamilton e como esse princípio conecta-se ao princípio da mínima energia potencial em equilíbrio estático. O conteúdo é Mecânica Analítica (formulação lagrangiana) e estática de sistemas conservativos.
Passo 2
O princípio da mínima ação de Hamilton afirma que, entre dois instantes fixos
e
e dadas posições fixas nas fronteiras, o verdadeiro trajeto
de um sistema mecânico faz com que a quantidade chamada ação
seja estacionária (extremo, que normalmente é um mínimo local). Aqui
é a lagrangiana, com
energia cinética e
energia potencial.
Passo 3
Para encontrar o trajeto que torna
estacionária aplicamos variações
que anulam as fronteiras (
). Exigindo
obtém-se as equações de Euler–Lagrange:
que são exatamente as equações de movimento do sistema.
Passo 4
No caso estático de equilíbrio de um sistema conservativo, a velocidade e, portanto, a energia cinética são nulas em todo instante (
). A lagrangiana torna-se
e a ação fica
Para que
deve ocorrer
em cada ponto do intervalo, isto é, a configuração de equilíbrio torna estacionária (e localmente mínima) a energia potencial.
Passo 5
Portanto, o princípio da mínima ação de Hamilton generaliza o princípio da mínima energia potencial: em dinâmica o caminho minimiza (estacionariza) a ação
, enquanto em estático — caso especial em que
— isso reduz ao fato de o equilíbrio ocorrer quando a energia potencial é mínima.
Resposta
O princípio da mínima ação de Hamilton diz que o movimento real de um sistema entre instantes fixos torna estacionária a ação
levando às equações de Euler–Lagrange. No limite estático, com
, isso implica
, ou seja, o equilíbrio estático corresponde à configuração de mínima energia potencial.