Uma esfera metálica com raio r_{a} está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r_{b}. Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa. a) Determine o potencial V(r) para as regiões i) r<r_{a}; ii) r_{a}<r<r_{b}; iii) r>r_{b}. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito. b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por V_{a b}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right). c) Use uma equação apropriada e o resultado do item a ) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por E(r)=\frac{V_{a b}}{\left(1 / r_{a}-1 / r_{b}\right)} \frac{1}{r^{2}} d) Aplique uma equação apropriada e o resultado do item a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r>r_{b}. e) Suponha que a carga na esfera externa não seja -q, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, -Q. Mostre que as respostas dos itens b) e c ) não se alteram, porém a resposta do item d) torna-se diferente. f) Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y, z)=A x y-B x^{2}+C y, em que A, B e C são constantes positivas. i) Calcule os componentes x, y e z do campo elétrico. ii) Em que pontos o campo elétrico é igual a zero?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico formado por uma esfera metálica de raio r_{a} carregada com +q no interior de uma casca esférica condutora de raio externo r_{b} carregada com -q. Vamos usar superposição de potenciais de cargas esféricas e as condições de contorno (continuidade de V e V(\infty)=0) para obter V(r). Em seguida, aplicaremos E=-\dfrac{dV}{dr} para achar o campo.

Passo 2

Para r<r_{a}, toda carga +q está em raio maior, logo o potencial devido a ela é constante igual a q/(4\pi\epsilon_{0}r_{a}). A casca com carga -q produz potencial constante em todo interior igual a -q/(4\pi\epsilon_{0}r_{b}). Somando,
V(r)=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr), \quad r<r_{a}.
Para r_{a}<r<r_{b}, a esfera interna se comporta como carga puntiforme em r, e a casca continua com potencial constante,
V(r)=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr), \quad r_{a}<r<r_{b}.
Para r>r_{b}, as cargas +q e -q se anulam e V(\infty)=0, logo
V(r)=0,\quad r>r_{b}.

Passo 3

O potencial entre as superfícies r=r_{a} e r=r_{b} da esfera interna em relação à externa é
V_{ab}=V(r_{a})-V(r_{b}) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr)-0 =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr).

Passo 4

No intervalo r_{a}<r<r_{b},
E(r)=-\frac{dV}{dr} =-\frac{d}{dr}\Bigl[\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr)\Bigr] =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}.
Como \dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}=V_{ab}/\bigl(\tfrac{1}{r_{a}}-\tfrac{1}{r_{b}}\bigr), temos
E(r) =\frac{V_{ab}}{\bigl(\tfrac{1}{r_{a}}-\tfrac{1}{r_{b}}\bigr)}\frac{1}{r^{2}}.

Passo 5

Para r>r_{b}, V(r)=0 implica
E(r)=-\frac{dV}{dr}=0.

Passo 6

Se a casca carregasse -Q em vez de -q, recalculamos V_{ab}=V(r_{a})-V(r_{b}) e E(r) entre as esferas. O resultado para V_{ab} permanece
\displaystyle \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigl(\frac1{r_{a}}-\frac1{r_{b}}\bigr)
e, por consequência, E(r) não muda. Já para r>r_{b}, agora há carga líquida q+(-Q)=q-Q, de modo que
E(r)=\frac{q-Q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}, \quad r>r_{b},
que difere do caso Q=q.

Passo 7

A função potencial em coordenadas cartesianas é
V(x,y,z)=A\,x\,y \;-\;B\,x^{2}\;+\;C\,y.
Como \mathbf E=-\nabla V, seus componentes são
E_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}=-A\,y+2B\,x, \qquad E_{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}=-A\,x-C, \qquad E_{z}=-\frac{\partial V}{\partial z}=0.
Para achar onde \mathbf E=0, resolvemos
-A\,y+2B\,x=0, \quad -\,A\,x-C=0.
Da segunda equação obtemos x=-C/A. Substituindo na primeira,
-A\,y +2B\Bigl(-\frac{C}{A}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; y=-\frac{2B\,C}{A^{2}}.
Não há restrição em z. Logo, \mathbf E=0 nos pontos
\bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-\tfrac{C}{A},\,-\tfrac{2BC}{A^{2}},\,z\bigr).

Resposta

(a)
V(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigl(\tfrac{1}{r_{a}}-\tfrac{1}{r_{b}}\bigr),&r<r_{a},\\[6pt] \displaystyle \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigl(\tfrac{1}{r}-\tfrac{1}{r_{b}}\bigr),&r_{a}<r<r_{b},\\[6pt] 0,&r>r_{b}. \end{cases}
(b) \displaystyle V_{ab}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\Bigl(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\Bigr).
(c) \displaystyle E(r)=\frac{V_{ab}}{\bigl(\tfrac{1}{r_{a}}-\tfrac{1}{r_{b}}\bigr)}\frac{1}{r^{2}},\;r_{a}<r<r_{b}.
(d) \displaystyle E(r)=0,\;r>r_{b}.
(e) Com -Q na casca, (b) e (c) inalterados; em (d) surge \displaystyle E(r)=\frac{q-Q}{4\pi\epsilon_{0}}\,\tfrac{1}{r^{2}}.
(f i)
\displaystyle E_{x}=-A\,y+2B\,x,\; E_{y}=-A\,x-C,\; E_{z}=0.
(f ii) Zeros em \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-\tfrac{C}{A},\,-\tfrac{2BC}{A^{2}},\,z\bigr).]

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