Uma esfera metálica com raio r_{a} está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r_{b}. Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa. a) Determine o potencial V(r) para as regiões i) r<r_{a}; ii) r_{a}<r<r_{b}; iii) r>r_{b}. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito. b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por V_{a b}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right). c) Use uma equação apropriada e o resultado do item a ) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por E(r)=\frac{V_{a b}}{\left(1 / r_{a}-1 / r_{b}\right)} \frac{1}{r^{2}} d) Aplique uma equação apropriada e o resultado do item a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r>r_{b}. e) Suponha que a carga na esfera externa não seja -q, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, -Q. Mostre que as respostas dos itens b) e c ) não se alteram, porém a resposta do item d) torna-se diferente. f) Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relação V(x, y, z)=A x y-B x^{2}+C y, em que A, B e C são constantes positivas. i) Calcule os componentes x, y e z do campo elétrico. ii) Em que pontos o campo elétrico é igual a zero?
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor esférico formado por uma esfera metálica de raio r_{a} carregada com +q no interior de uma casca esférica condutora de raio externo r_{b} carregada com -q. Vamos usar superposição de potenciais de cargas esféricas e as condições de contorno (continuidade de V e V(\infty)=0) para obter V(r). Em seguida, aplicaremos E=-\dfrac{dV}{dr} para achar o campo.
Passo 2
Para r<r_{a}, toda carga +q está em raio maior, logo o potencial devido a ela é constante igual a q/(4\pi\epsilon_{0}r_{a}). A casca com carga -q produz potencial constante em todo interior igual a -q/(4\pi\epsilon_{0}r_{b}). Somando,
Se a casca carregasse -Q em vez de -q, recalculamos V_{ab}=V(r_{a})-V(r_{b}) e E(r) entre as esferas. O resultado para V_{ab} permanece \displaystyle \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\bigl(\frac1{r_{a}}-\frac1{r_{b}}\bigr)
e, por consequência, E(r) não muda. Já para r>r_{b}, agora há carga líquida q+(-Q)=q-Q, de modo que