3* Questäo ( 2,5 pontos): Considere uma linha de carga de comprimento
e densidade linear de carga
(a) Obtenha, por integração direta, o campo elétrico sobre um eixo perpendicular que passa pelo centro da linha de carga, a uma distâncía
do centro da linha de carga. (b) Faça a aproximação de
(ou seja, considere pontos muito próximos da linha de carga) e obtenha o campo elétrico neste caso. (c) Mostre que o resultado da letra (b) pode ser obtído através da lei de Causs.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma linha de carga de comprimento
e densidade linear
, num ponto que fica a uma distância
do centro da linha, ao longo de um eixo perpendicular. O conteúdo envolve integração do princípio de Coulomb e depois a aproximação
, por fim uso da lei de Gauss para obter o mesmo resultado da aproximação.
Passo 2
Para qualquer elemento de carga
localizado em
ao longo da linha (que vai de
a
), o vetor campo em módulo é
com
. Apenas a componente perpendicular ao fio (na direção de
) se soma; o fator de projeção é
. Logo
Passo 3
Integramos de
a
:
Usando
obtemos
Passo 4
Na aproximação
, temos
. Substituindo:
Passo 5
Para mostrar que o mesmo resultado vem de Gauss, escolhemos um cilindro de raio
e comprimento
muito menor que
, de modo que as faces planas não recebam fluxo e só reste o fluxo lateral. Pela lei de Gauss:
que coincide com o item (b).
Resposta
(a)
(b)
(c) obtém-se o mesmo resultado usando a lei de Gauss num cilindro coaxial com a carga.