Um bloco é liberado do repouso em de um plano inclinado de
e, em seguida, desliza uma distância d. O tempo necessário para deslizar em um plano com atrito (coeficiente
) é n vezes maior que o tempo para deslizar o mesmo plano sem atrito. Determine o coeficiente de atrito
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um bloco que parte do repouso (ou seja, velocidade inicial igual a zero) em um plano inclinado de 45 graus. Ele desliza uma distância d nesse plano. A parada é que, se houver atrito com coeficiente
, o tempo que o bloco leva para deslizar essa distância será n vezes maior do que se não houvesse atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse coeficiente de atrito
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento em planos inclinados e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso sem atrito. Quando não há atrito, a única força que faz o bloco acelerar é a componente da gravidade ao longo do plano inclinado. A aceleração
pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
) e
é o ângulo de inclinação do plano, que nesse caso é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que o bloco leva para deslizar a distância d sem atrito. Como o bloco parte do repouso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
Isolando
, temos:
Passo 4
No caso com atrito, a aceleração
é menor porque o atrito está atuando contra o movimento. A força de atrito
é dada por:
onde
é a força normal. Em um plano inclinado, a força normal é:
A aceleração com atrito então é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o tempo com atrito
usando a mesma equação do movimento:
Isolando
, temos:
Passo 6
Segundo o enunciado, o tempo com atrito é n vezes maior que sem atrito:
Substituindo as expressões de
e
:
Simplificando, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Invertendo os lados:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na equação:
Dividindo toda a equação por
:
Isolando
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o coeficiente de atrito
é dado por: