Um bloco é liberado do repouso em de um plano inclinado de 45^circ e, em seguida, desliza uma distância d. O tempo necessário para deslizar em um plano com atrito (coeficiente mu) é n vezes maior que o tempo para deslizar o mesmo plano sem atrito. Determine o coeficiente de atrito mu.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um bloco que parte do repouso (ou seja, velocidade inicial igual a zero) em um plano inclinado de 45 graus. Ele desliza uma distância d nesse plano. A parada é que, se houver atrito com coeficiente mu, o tempo que o bloco leva para deslizar essa distância será n vezes maior do que se não houvesse atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse coeficiente de atrito mu. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento em planos inclinados e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso sem atrito. Quando não há atrito, a única força que faz o bloco acelerar é a componente da gravidade ao longo do plano inclinado. A aceleração asem pode ser calculada usando a fórmula:
asem = g cdot sin(theta)
onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8, m/s^2) e theta é o ângulo de inclinação do plano, que nesse caso é 45^circ.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que o bloco leva para deslizar a distância d sem atrito. Como o bloco parte do repouso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
d = 12 asem tsem^2
Isolando tsem, temos:
tsem = raiz2dasem

Passo 4

No caso com atrito, a aceleração acom é menor porque o atrito está atuando contra o movimento. A força de atrito Fatrito é dada por:
Fatrito = mu cdot N
onde N é a força normal. Em um plano inclinado, a força normal é:
N = m cdot g cdot cos(theta)
A aceleração com atrito então é:
acom = g cdot sin(theta) - mu cdot g cdot cos(theta)

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo com atrito tcom usando a mesma equação do movimento:
d = 12 acom tcom^2
Isolando tcom, temos:
tcom = raiz2dacom

Passo 6

Segundo o enunciado, o tempo com atrito é n vezes maior que sem atrito:
tcom = n cdot tsem
Substituindo as expressões de tcom e tsem:
raiz2dacom = n cdot raiz2dasem
Simplificando, temos:
1raizacom = n cdot 1raizasem
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1acom = n^2 cdot 1asem
Invertendo os lados:
acom = asemn^2

Passo 7

Agora, substituímos acom e asem na equação:
g cdot sin(theta) - mu cdot g cdot cos(theta) = g cdot sin(theta)n^2
Dividindo toda a equação por g:
sin(theta) - mu cdot cos(theta) = sin(theta)n^2
Isolando mu:
mu cdot cos(theta) = sin(theta) - sin(theta)n^2
mu = sin(theta) (1 - 1n^2)cos(theta)
Simplificando:
mu = tan(theta) (1 - 1n^2)

Resposta

Portanto, o coeficiente de atrito mu é dado por:
mu = tan(45^circ) (1 - 1n^2) = 1 cdot (1 - 1n^2) = 1 - 1n^2

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