Um bloco de madeira com 10 g de massa está preso ao teto por duas molas, cujos tamanhos normais são 50 cm e constante
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Num dado momento, uma das molas arrebenta e o bloco é abandonado iniciando movimento harmônico simples. Determine a distância do bloco até o teto quando se passou um tempo igual a um sexto do período após a mola ter arrebentado.
Num dado momento, uma das molas arrebenta e o bloco é abandonado iniciando movimento harmônico simples. Determine a distância do bloco até o teto quando se passou um tempo igual a um sexto do período após a mola ter arrebentado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um bloco de madeira preso ao teto por duas molas. A gente precisa descobrir qual é a distância do bloco até o teto depois que uma das molas arrebenta e o bloco começa a oscilar. Isso envolve conceitos de mecânica, especificamente movimento harmônico simples (MHS) e leis de Hooke. Para resolver, vamos precisar entender como as molas funcionam, como calcular a constante elástica efetiva e como aplicar as fórmulas do MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação inicial. O bloco tem uma massa de 10 g, ou seja, 0,01 kg. Ele está preso por duas molas idênticas, cada uma com uma constante elástica de 3 N/m e comprimento natural de 50 cm. Quando as duas molas estão funcionando juntas, a constante elástica efetiva fica dobrada porque elas estão agindo em paralelo. Então, a constante total é:
Passo 3
Agora, imagina que uma das molas arrebenta. Isso significa que só fica uma mola funcionando, com constante elástica de 3 N/m. A constante elástica passa a ser:
Passo 4
Quando a mola arrebenta, o bloco não está mais em equilíbrio. A gravidade faz com que ele desloque para baixo até atingir uma nova posição de equilíbrio. Para encontrar essa posição, usamos a fórmula do equilíbrio estático:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola (3 N/m)
- $ m $ é a massa do bloco (0,01 kg)
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81, m/s^2 $)
Resolvendo para $ x $:
Então, a nova posição de equilíbrio está 3,27 cm abaixo do ponto onde a mola está presa.
Passo 5
Com a mola agora conforme $ k = 3, N/m $ e o bloco em equilíbrio, ele começa a oscilar em torno dessa nova posição. O movimento é um movimento harmônico simples (MHS), cuja posição em função do tempo é dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude das oscilações
- $ \omega $ é a frequência angular
- $ \phi $ é a fase inicial
Como o bloco é liberado do repouso no equilíbrio, a fase inicial $ \phi $ é zero, e a equação simplifica para:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a frequência angular $ \omega $. Ela é dada por:
Agora, o período $ T $ do movimento é:
Passo 7
O exercício pede para encontrar a posição do bloco após um sexto do período, ou seja, após:
Vamos substituir esses valores na equação do MHS:
Sabemos que a amplitude $ A $ é a distância inicial que o bloco se moveu para estabelecer o novo equilíbrio, que calculamos como 3,27 cm (0,0327 m). Então:
Calculando o argumento do cosseno:
Então:
Resposta
Após um sexto do período, o bloco está aproximadamente a 1,635 cm abaixo do ponto de equilíbrio, ou seja, a uma distância de 3,27 cm - 1,635 cm = 1,635 cm do teto.