Um pêndulo, de massa igual a 1,5 kg, está suspenso por um fio de comprimento 1 m e submerso em um fluido com coeficiente de atrito viscoso b. Determine o valor do coeficiente b para que o movimento seja criticamente amortecido (g approx 9,81 m / s^wed>= 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo com massa de 1,5 kg, preso por um fio de 1 m e imerso em um fluido com atrito viscoso representado pelo coeficiente $ b $. A gente precisa descobrir qual é esse $ b $ para que o movimento do pêndulo seja criticamente amortecido. Isso envolve conhecimentos de física sobre movimento oscilatório e amortecimento, especialmente usando equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola com atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “criticamente amortecido”. No contexto de movimentos amortecidos, temos três casos:
  1. Subamortecido: o sistema oscila enquanto vai chegando ao repouso.
  2. Criticamente amortecido: o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar e no menor tempo possível.
  3. Superamortecido: o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.
Queremos o caso crítico, que é o limiar entre oscilar ou não.

Passo 3

A equação que descreve o movimento de um pêndulo com amortecimento viscoso é:
m d^2thetadt^2 + b dthetadt + m g L theta = 0
Onde:
  • $ m $ é a massa (1,5 kg)
  • $ b $ é o coeficiente de atrito que queremos encontrar
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
  • $ L $ é o comprimento do fio (1 m)
  • $ \theta $ é o ângulo de deslocamento

Passo 4

Para um sistema criticamente amortecido, o discriminante da equação característica associada deve ser igual a zero. A equação característica é:
m r^2 + b r + m g L = 0
O discriminante $ \Delta $ dessa equação é:
De
Para ser criticamente amortecido, $ \Delta = 0 $. Então:
De

Passo 5

Resolvendo para $ b $:
b
b^2 = 4 m^2 g L

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos:
m = 1,5 , kg
g = 9,81 , m/s^2
L = 1 , m
Então:
b = 2 times 1,5 times raiz9,81 times 1

Passo 7

Calculando a raiz:
raiz9,81 times 1 = raiz9,81 approx 3,132 , m/s
Então:
b = 2 times 1,5 times 3,132 approx 9,396 , kg/s

Resposta

O coeficiente de atrito viscoso $ b $ necessário para que o movimento do pêndulo seja criticamente amortecido é aproximadamente $ 9,40 , kg/s $.

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