Um pêndulo, de massa igual a
, está suspenso por um fio de comprimento 1 m e submerso em um fluido com coeficiente de atrito viscoso b. Determine o valor do coeficiente b para que o movimento seja criticamente amortecido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo com massa de 1,5 kg, preso por um fio de 1 m e imerso em um fluido com atrito viscoso representado pelo coeficiente $ b $. A gente precisa descobrir qual é esse $ b $ para que o movimento do pêndulo seja criticamente amortecido. Isso envolve conhecimentos de física sobre movimento oscilatório e amortecimento, especialmente usando equações diferenciais que descrevem sistemas massa-mola com atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “criticamente amortecido”. No contexto de movimentos amortecidos, temos três casos:
- Subamortecido: o sistema oscila enquanto vai chegando ao repouso.
- Criticamente amortecido: o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar e no menor tempo possível.
- Superamortecido: o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.
Queremos o caso crítico, que é o limiar entre oscilar ou não.
Passo 3
A equação que descreve o movimento de um pêndulo com amortecimento viscoso é:
Onde:
- $ m $ é a massa (1,5 kg)
- $ b $ é o coeficiente de atrito que queremos encontrar
- $ g $ é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
- $ L $ é o comprimento do fio (1 m)
- $ \theta $ é o ângulo de deslocamento
Passo 4
Para um sistema criticamente amortecido, o discriminante da equação característica associada deve ser igual a zero. A equação característica é:
O discriminante $ \Delta $ dessa equação é:
Para ser criticamente amortecido, $ \Delta = 0 $. Então:
Passo 5
Resolvendo para $ b $:
Passo 6
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Então:
Passo 7
Calculando a raiz:
Então:
Resposta
O coeficiente de atrito viscoso $ b $ necessário para que o movimento do pêndulo seja criticamente amortecido é aproximadamente $ 9,40 , kg/s $.