Um pêndulo de madeira de massa igual a 5 kg está suspenso por um fio de comprimento 1 m . Em um dado momento, ele é atingido por um projétil cuja massa é 20 g e fica encravado nele. Desta vez, a velocidade do projétil é suficientemente grande, de modo que o periodo apresenta uma pequena diferença a depender do ângulo máximo. Se o período foi 2,02 s, calcule aproximadamente a velocidade com que o projétil atingiu o pêndulo. g approx 9,81 m / s^wed>= 2. Dica: T approx 2 pi raizLg(1+116 thetamax ^2)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um pêndulo de madeira com massa de 5 kg e comprimento de 1 metro. Um projétil de 20 g (que é 0,02 kg) atinge e fica encravado no pêndulo. Depois dessa colisão, o período do pêndulo muda um pouquinho, passando para 2,02 segundos. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade o projétil atingiu o pêndulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e energia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que acontece na colisão. Como o projétil fica preso no pêndulo, essa é uma colisão inelástica. Nessa situação, a conservação do momento linear se aplica. A fórmula para isso é:
m cdot v = (M + m) cdot V
Onde:
  • $ m = 0,02 , kg $ (massa do projétil)
  • $ v $ é a velocidade que queremos encontrar
  • $ M = 5 , kg $ (massa do pêndulo)
  • $ V $ é a velocidade após a colisão
Rearranjando para encontrar $ V $:
m = 0,02 , kg

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa velocidade $ V $ com o período do pêndulo após a colisão. Sabemos que o período $ T $ de um pêndulo é dado por:
V
Aqui:
  • $ L = 1 , m $ (comprimento do fio)
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ \theta_{max} $ é o ângulo máximo que o pêndulo atinge
Precisamos encontrar $ \theta_{max} $ em termos de $ V $. A energia cinética após a colisão se transforma em energia potencial no ponto mais alto do movimento do pêndulo:
T
Simplificando:
T approx 2pi raizLg (1 + 116 thetamax^2)
L = 1 , m

Passo 4

Vamos substituir $ \theta_{max} $ na fórmula do período:
thetamax
Sabemos que $ T = 2,02 , s $. Vamos isolar $ V $:
T = 2pi raizLg (1 + 116 (Vraizg L)^2)
Calculando o período sem a mudança:
T = 2,02 , s
Então:
V
2,02 = 2pi raiz19,81 (1 + V^216 cdot 9,81 cdot 1)
T0 = 2pi raiz19,81 approx 2,006 , s
1 + V^216 cdot 9,81 = 2,022,006 approx 1,007

Resposta

A velocidade com que o projétil atingiu o pêndulo é aproximadamente 263 metros por segundo.

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