Um pêndulo de madeira de massa igual a 5 kg está suspenso por um fio de comprimento 1 m . Em um dado momento, ele é atingido por um projétil cuja massa é 20 g e fica encravado nele. Desta vez, a velocidade do projétil é suficientemente grande, de modo que o periodo apresenta uma pequena diferença a depender do ângulo máximo. Se o período foi 2,02 s, calcule aproximadamente a velocidade com que o projétil atingiu o pêndulo.
. Dica:
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um pêndulo de madeira com massa de 5 kg e comprimento de 1 metro. Um projétil de 20 g (que é 0,02 kg) atinge e fica encravado no pêndulo. Depois dessa colisão, o período do pêndulo muda um pouquinho, passando para 2,02 segundos. Nosso objetivo é descobrir com que velocidade o projétil atingiu o pêndulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e energia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que acontece na colisão. Como o projétil fica preso no pêndulo, essa é uma colisão inelástica. Nessa situação, a conservação do momento linear se aplica. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ m = 0,02 , kg $ (massa do projétil)
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar
- $ M = 5 , kg $ (massa do pêndulo)
- $ V $ é a velocidade após a colisão
Rearranjando para encontrar $ V $:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa velocidade $ V $ com o período do pêndulo após a colisão. Sabemos que o período $ T $ de um pêndulo é dado por:
Aqui:
- $ L = 1 , m $ (comprimento do fio)
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ \theta_{max} $ é o ângulo máximo que o pêndulo atinge
Precisamos encontrar $ \theta_{max} $ em termos de $ V $. A energia cinética após a colisão se transforma em energia potencial no ponto mais alto do movimento do pêndulo:
Simplificando:
Passo 4
Vamos substituir $ \theta_{max} $ na fórmula do período:
Sabemos que $ T = 2,02 , s $. Vamos isolar $ V $:
Calculando o período sem a mudança:
Então:
Resposta
A velocidade com que o projétil atingiu o pêndulo é aproximadamente 263 metros por segundo.