Um bloco de madeira de massa
repousa sobre uma superfície horizontal. Uma bala de massa
é disparada horizontalmente com velocidade
contra o bloco, alojando-se no mesmo. Que fração da energia cinética inicial da bala é perdida no bloco, imediatamente após o impacto? Se
é o coeficiente de atrito entre o bloco e o chão, que distância ele percorrerá até parar?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco de madeira com massa $ m $ que está repousando sobre uma superfície horizontal. Uma bala com massa $ \gamma m $ é disparada horizontalmente com uma velocidade inicial $ v_0 $ e acaba se alojando no bloco após o impacto. Precisamos descobrir duas coisas:
- Qual a fração da energia cinética inicial da bala que é perdida no bloco imediatamente após o impacto?
- Qual é a distância que o bloco vai percorrer até parar, considerando que o coeficiente de atrito entre o bloco e o chão é $ \mu $?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de quantidade de movimento e energia cinética, além das leis do atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece no impacto. Quando a bala se aloja no bloco, eles passam a se mover juntos. Isso é um exemplo de colisão inelástica, onde a quantidade de movimento total é preservada, mas a energia cinética não é necessariamente.
Então, vamos calcular a velocidade comum $ V $ do bloco e da bala após o impacto usando a conservação da quantidade de movimento.
A quantidade de movimento antes do impacto é só a da bala, já que o bloco está em repouso:
Depois do impacto, a quantidade de movimento é a soma das massas multiplicada pela velocidade comum $ V $:
Pela conservação da quantidade de movimento:
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da bala e a energia cinética após o impacto.
A energia cinética inicial da bala é:
Após o impacto, a energia cinética do sistema bloco+bala é:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Agora, queremos saber qual fração da energia cinética inicial foi perdida. Para isso, vamos calcular a diferença entre a energia inicial e a final, e então dividir pela energia inicial.
A energia perdida:
Fatorando $ \frac{1}{2} m v_0^2 $:
A fração perdida é então:
Então, a fração da energia cinética inicial perdida no impacto é $ \frac{1}{\gamma + 1} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância que o bloco e a bala vão percorrer até parar, considerando o atrito. Para isso, precisamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona a força de atrito com a massa e a aceleração.
A força de atrito $ F_{atrito} $ é dada por:
Onde $ N $ é a força normal. Como o bloco está sobre uma superfície horizontal e não há outras forças verticais, $ N = (m + \gamma m) g = m (\gamma + 1) g $.
Então,
Essa força é oposta ao movimento, causando uma aceleração negativa (desaceleração). Pela segunda lei de Newton,
A aceleração é $ a = \mu g $, mas ela está desacelerando, então consideramos $ a = -\mu g $.
Agora, vamos usar a equação de movimento para encontrar a distância $ d $ até parar. Sabemos que a velocidade inicial é $ V $ e a velocidade final é 0.
Usamos a equação:
Substituindo $ V_f = 0 $, $ V_i = \frac{\gamma}{\gamma + 1} v_0 $ e $ a = -\mu g $:
Resolvendo para $ d $:
Resposta
A fração da energia cinética inicial da bala perdida no impacto é $ \frac{1}{\gamma + 1} $. A distância que o bloco percorrerá até parar é $ d = \frac{ \gamma^2 v_0^2 }{ 2 \mu g (\gamma + 1)^2 } $.