Um bloco de madeira de massa m repousa sobre uma superfície horizontal. Uma bala de massa gamma m é disparada horizontalmente com velocidade v0 contra o bloco, alojando-se no mesmo. Que fração da energia cinética inicial da bala é perdida no bloco, imediatamente após o impacto? Se mu é o coeficiente de atrito entre o bloco e o chão, que distância ele percorrerá até parar?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco de madeira com massa $ m $ que está repousando sobre uma superfície horizontal. Uma bala com massa $ \gamma m $ é disparada horizontalmente com uma velocidade inicial $ v_0 $ e acaba se alojando no bloco após o impacto. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Qual a fração da energia cinética inicial da bala que é perdida no bloco imediatamente após o impacto?
  2. Qual é a distância que o bloco vai percorrer até parar, considerando que o coeficiente de atrito entre o bloco e o chão é $ \mu $?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de quantidade de movimento e energia cinética, além das leis do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece no impacto. Quando a bala se aloja no bloco, eles passam a se mover juntos. Isso é um exemplo de colisão inelástica, onde a quantidade de movimento total é preservada, mas a energia cinética não é necessariamente.
Então, vamos calcular a velocidade comum $ V $ do bloco e da bala após o impacto usando a conservação da quantidade de movimento.
A quantidade de movimento antes do impacto é só a da bala, já que o bloco está em repouso:
V
Depois do impacto, a quantidade de movimento é a soma das massas multiplicada pela velocidade comum $ V $:
pinicial = (gamma m) v0
Pela conservação da quantidade de movimento:
V
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
pfinal = (gamma m + m) V = m (gamma + 1) V

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da bala e a energia cinética após o impacto.
A energia cinética inicial da bala é:
Ecin inicial = 12 (gamma m) v0^2
Após o impacto, a energia cinética do sistema bloco+bala é:
Ecin final = 12 (gamma m + m) V^2 = 12 m (gamma + 1) (gammagamma + 1 v0)^2
Vamos simplificar isso:
Ecin final = 12 m (gamma + 1) cdot gamma^2(gamma + 1)^2 v0^2 = 12 m cdot gamma^2gamma + 1 v0^2

Passo 4

Agora, queremos saber qual fração da energia cinética inicial foi perdida. Para isso, vamos calcular a diferença entre a energia inicial e a final, e então dividir pela energia inicial.
A energia perdida:
De
Fatorando $ \frac{1}{2} m v_0^2 $:
12 m v0^2
A fração perdida é então:
De
Então, a fração da energia cinética inicial perdida no impacto é $ \frac{1}{\gamma + 1} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância que o bloco e a bala vão percorrer até parar, considerando o atrito. Para isso, precisamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona a força de atrito com a massa e a aceleração.
A força de atrito $ F_{atrito} $ é dada por:
Fatrito
Onde $ N $ é a força normal. Como o bloco está sobre uma superfície horizontal e não há outras forças verticais, $ N = (m + \gamma m) g = m (\gamma + 1) g $.
Então,
Fatrito = mu N
Essa força é oposta ao movimento, causando uma aceleração negativa (desaceleração). Pela segunda lei de Newton,
N
A aceleração é $ a = \mu g $, mas ela está desacelerando, então consideramos $ a = -\mu g $.
Agora, vamos usar a equação de movimento para encontrar a distância $ d $ até parar. Sabemos que a velocidade inicial é $ V $ e a velocidade final é 0.
Usamos a equação:
N = (m + gamma m) g = m (gamma + 1) g
Substituindo $ V_f = 0 $, $ V_i = \frac{\gamma}{\gamma + 1} v_0 $ e $ a = -\mu g $:
Fatrito = mu m (gamma + 1) g
Resolvendo para $ d $:
F = m a implies a = Fm = mu m (gamma + 1) gm (gamma + 1) = mu g

Resposta

A fração da energia cinética inicial da bala perdida no impacto é $ \frac{1}{\gamma + 1} $. A distância que o bloco percorrerá até parar é $ d = \frac{ \gamma^2 v_0^2 }{ 2 \mu g (\gamma + 1)^2 } $.

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