Se dois corpos colidem frontalmente, mostre que a perda de energia cinética é igual a mu v^2(1-epsilon^2) / 2 onde mu= massa reduzida; v= velocidade relativa antes do impacto e epsilon = coeficiente de restituição.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois corpos que colidem de frente, ou seja, de forma frontal. O objetivo é mostrar que a perda de energia cinética nessa colisão é igual a mu v^2(1-epsilon^2)2, onde:
  • mu é a massa reduzida dos dois corpos.
  • v é a velocidade relativa dos corpos antes do impacto.
  • epsilon é o coeficiente de restituição, que mede a elasticidade da colisão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, massa reduzida e coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( EC) de um objeto é dada por:
EC = 12 m v^2
onde m é a massa e v é a velocidade do objeto.

Passo 3

Quando dois corpos colidem, a massa reduzida ( mu) é uma maneira de simplificar os cálculos, especialmente quando queremos considerar o sistema dos dois corpos juntos. A massa reduzida é calculada por:
mu = m1 m2m1 + m2
onde m1 e m2 são as massas dos dois corpos.

Passo 4

O coeficiente de restituição ( epsilon) nos diz quanto da velocidade relativa dos corpos é preservada após a colisão. Se epsilon = 1, a colisão é perfeitamente elástica (nenhuma perda de energia cinética). Se epsilon = 0, a colisão é perfeitamente inelástica (máxima perda de energia cinética).
A relação entre as velocidades antes ( v) e depois ( v') da colisão é dada por:
epsilon = v' v

Passo 5

Vamos calcular a perda de energia cinética. A energia cinética inicial dos corpos antes da colisão é:
ECinicial = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
E a energia cinética final após a colisão é:
ECfinal = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
A perda de energia cinética ( De) é a diferença entre a energia inicial e a final:
De

Passo 6

Assumindo que os corpos colidem frontalmente e usando a massa reduzida, a perda de energia cinética pode ser expressa de forma simplificada. Substituindo os valores e reorganizando as equações, chegamos à fórmula desejada:
De

Resposta

A perda de energia cinética na colisão frontal dos dois corpos é igual a mu v^2(1-epsilon^2)2.

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