Um foguete, ao viajar na atmosfera, experimenta uma força de resistência linear do ar . Encontre a equação diferencial do movimento quando todas as outras forças externas são desprezíveis. Integre a equação e mostre que se o foguete parte do repouso, a velocidade final é dada por onde é a velocidade relativa de exaustão dos gases, constante, é a massa inicial do foguete mais combustível e é a massa final do foguete.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um foguete que está se movendo na atmosfera e sofre uma força de resistência do ar proporcional à sua velocidade, dada por . Queremos encontrar a equação diferencial que descreve o movimento desse foguete, considerando que todas as outras forças externas são desprezíveis. Depois, vamos integrar essa equação para descobrir a velocidade final do foguete quando ele parte do repouso.
Aqui, estamos trabalhando com dinâmica, mais especificamente com as leis de Newton aplicadas a um sistema que tem variação de massa (já que o foguete está perdendo massa com o combustível). Precisaremos usar conceitos de equações diferenciais para modelar o movimento e integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa vezes a aceleração:
No nosso caso, as únicas forças atuando no foguete são a força de resistência do ar e a força de propulsão gerada pelos gases de escape. Mas como todas as outras forças externas são desprezíveis, focaremos na resistência do ar:
O sinal negativo indica que a força de resistência do ar atua na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação da segunda lei de Newton para o foguete:
Aqui:
é a massa do foguete no instante ,
é a velocidade do foguete,
é a constante de resistência do ar,
é a velocidade de exaustão dos gases,
é a taxa de variação da massa do foguete.
Essa equação leva em conta que a massa do foguete está diminuindo à medida que o combustível é queimado.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar :
Agora, vamos considerar que a taxa de variação da massa, , é constante e definida como . Além disso, sabemos que , o que nos permite reescrever a equação:
dvdt = -Km v + Vm dotm
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar uma substituição. Podemos multiplicar ambos os lados da equação por m para simplificar:
m cdot dvdt = -K v + V dotm
Isso nos dá:
dvdt = -Km v + V dotmm
Agora, vamos notar que alpha = dotmK, então podemos reescrever a equação como:
dvdt = -vmK + Vmalpha K = -v(m/K) + V(m/alpha K)
Simplificando, temos:
dvdt = -Km v + V alpha Km
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, vamos separá-la e integrá-la. Primeiro, rearranjamos os termos:
dvdt + Km v = V alpha Km
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral Km dt
Mas precisamos saber como m varia com o tempo. Sabemos que a massa diminui linearmente com o tempo devido à queima de combustível:
m(t) = m0 - dotm t
No entanto, para simplificar a integração, vamos expressar a massa em termos de m em vez de t. Reescrevemos dt em termos de dm:
dt = dmdotm
Agora, substituímos na equação diferencial:
dvdm cdot dmdt + Km v = V alpha Km
Como dmdt = -dotm:
-dotm dvdm + Km v = V alpha Km
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para isolar dvdm:
-dotm dvdm = V alpha Km - Km v
Multiplicando ambos os lados por -1:
dotm dvdm = Km v - V alpha Km
Dividindo ambos os lados por dotm:
dvdm = Kdotm m v - V alpha Kdotm m
Lembrando que alpha = dotmK, podemos substituir:
dvdm = Kdotm m v - V alpha Kdotm m = valpha m - Vm
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
dvdm - valpha m = -Vm
Para resolver, encontramos o fator integrante mu(m):