Um foguete, ao viajar na atmosfera, experimenta uma força de resistência linear do ar -K v. Encontre a equação diferencial do movimento quando todas as outras forças externas são desprezíveis. Integre a equação e mostre que se o foguete parte do repouso, a velocidade final é dada por v=V alpha[1-(m / m0)^1 / alpha] onde V é a velocidade relativa de exaustão dos gases, alpha=|dotm / K|= constante, m0 é a massa inicial do foguete mais combustível e m é a massa final do foguete.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um foguete que está se movendo na atmosfera e sofre uma força de resistência do ar proporcional à sua velocidade, dada por -K v. Queremos encontrar a equação diferencial que descreve o movimento desse foguete, considerando que todas as outras forças externas são desprezíveis. Depois, vamos integrar essa equação para descobrir a velocidade final do foguete quando ele parte do repouso.
Aqui, estamos trabalhando com dinâmica, mais especificamente com as leis de Newton aplicadas a um sistema que tem variação de massa (já que o foguete está perdendo massa com o combustível). Precisaremos usar conceitos de equações diferenciais para modelar o movimento e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa vezes a aceleração:
Fresu
No nosso caso, as únicas forças atuando no foguete são a força de resistência do ar e a força de propulsão gerada pelos gases de escape. Mas como todas as outras forças externas são desprezíveis, focaremos na resistência do ar:
Fresistência = -K v ê
O sinal negativo indica que a força de resistência do ar atua na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação da segunda lei de Newton para o foguete:
m cdot dvdt = -K v + V cdot dmdt
Aqui:
  • m é a massa do foguete no instante t,
  • v é a velocidade do foguete,
  • K é a constante de resistência do ar,
  • V é a velocidade de exaustão dos gases,
  • dmdt é a taxa de variação da massa do foguete.
Essa equação leva em conta que a massa do foguete está diminuindo à medida que o combustível é queimado.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar dvdt:
dvdt = -Km v + Vm dmdt
Agora, vamos considerar que a taxa de variação da massa, dmdt, é constante e definida como dotm. Além disso, sabemos que alpha = |dotmK|, o que nos permite reescrever a equação:
dvdt = -Km v + Vm dotm

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar uma substituição. Podemos multiplicar ambos os lados da equação por m para simplificar:
m cdot dvdt = -K v + V dotm
Isso nos dá:
dvdt = -Km v + V dotmm
Agora, vamos notar que alpha = dotmK, então podemos reescrever a equação como:
dvdt = -vmK + Vmalpha K = -v(m/K) + V(m/alpha K)
Simplificando, temos:
dvdt = -Km v + V alpha Km

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, vamos separá-la e integrá-la. Primeiro, rearranjamos os termos:
dvdt + Km v = V alpha Km
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral Km dt
Mas precisamos saber como m varia com o tempo. Sabemos que a massa diminui linearmente com o tempo devido à queima de combustível:
m(t) = m0 - dotm t
No entanto, para simplificar a integração, vamos expressar a massa em termos de m em vez de t. Reescrevemos dt em termos de dm:
dt = dmdotm
Agora, substituímos na equação diferencial:
dvdm cdot dmdt + Km v = V alpha Km
Como dmdt = -dotm:
-dotm dvdm + Km v = V alpha Km

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para isolar dvdm:
-dotm dvdm = V alpha Km - Km v
Multiplicando ambos os lados por -1:
dotm dvdm = Km v - V alpha Km
Dividindo ambos os lados por dotm:
dvdm = Kdotm m v - V alpha Kdotm m
Lembrando que alpha = dotmK, podemos substituir:
dvdm = Kdotm m v - V alpha Kdotm m = valpha m - Vm

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem:
dvdm - valpha m = -Vm
Para resolver, encontramos o fator integrante mu(m):
mu(m) = e^integral -1alpha m dm = e^-ln malpha = m^-1alpha
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
m^-1alpha dvdm - m^-1alpha valpha m = -V m^-1alpha 1m
Isso simplifica para:
ddm ( v m^-1alpha ) = -V m^-1alpha -1

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados em relação a m:
integral ddm ( v m^-1alpha ) dm = -V integral m^-1alpha -1 dm
A integração do lado esquerdo é simplesmente:
v m^-1alpha = -V integral m^-1alpha -1 dm + C
Onde C é a constante de integração. Calculando a integral do lado direito:
integral m^-1alpha -1 dm = m^-1alpha-1alpha + C = -alpha m^-1alpha + C
Então, temos:
v m^-1alpha = -V (-alpha m^-1alpha) + C = V alpha m^-1alpha + C

Passo 10

Agora, resolvemos para v:
v = V alpha + C m^1alpha
Aplicamos a condição inicial: quando o foguete parte do repouso ( v = 0) e a massa inicial é m = m0:
0 = V alpha + C m0^1alpha
Resolvendo para C:
C = -V alpham0^1alpha
Substituindo C de volta na equação de v:
v = V alpha - V alpham0^1alpha m^1alpha = V alpha (1 - (mm0)^1alpha)

Resposta

A velocidade final do foguete, partindo do repouso, é dada por
v = V alpha [1 - (mm0)^1alpha]
onde:
  • V é a velocidade relativa de exaustão dos gases,
  • alpha = |dotmK| é constante,
  • m0 é a massa inicial do foguete mais combustível,
  • m é a massa final do foguete.

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