Este exercício é composto dos itens (a), (b) e © abaixo.
(a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para uma partícula de massa
cuja a função de onda é dada por
, na qual
e
são constantes reais e positivas. Em outras palavras, determine a constante multiplicativa
tal que a densidade de probabilidade de posição esteja corretamente normalizada. Para resolver este item, pode ser útil saber que
, se
.
(a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para uma partícula de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica Quântica que pede para normalizar a densidade de probabilidade de posição de uma partícula. Ou seja, precisamos encontrar a constante $ A $ na função de onda $ \Psi(x, t) $ de tal forma que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de normalização e uma integral que envolve uma função exponencial quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. A densidade de probabilidade de posição é dada por $ |\Psi(x, t)|^2 $, e para estar corretamente normalizada, a integral dessa densidade ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda dada é:
Quando a gente tira o módulo ao quadrado, os termos complexos se cancelam porque $ |e{i\theta}|2 = 1 $. Então:
Passo 4
Substituindo $ |\Psi(x, t)|^2 $ na integral de normalização, temos:
Agora, vamos identificar a integral que aparece aqui. A integral é do tipo:
onde $ b = \frac{\sqrt{k m}}{h} $ no nosso caso.
Passo 5
Aplicando essa fórmula na nossa equação:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Agora, isolamos $ A^2 $:
Para achar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A constante de normalização é: