Este exercício é composto dos itens (a), (b) e © abaixo.
(a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para uma partícula de massa m cuja a função de onda é dada por Psi(x, t)=A e^-raizk m2 h x^2 e^-i t2 raizk / m, na qual A e k são constantes reais e positivas. Em outras palavras, determine a constante multiplicativa A tal que a densidade de probabilidade de posição esteja corretamente normalizada. Para resolver este item, pode ser útil saber que integral-infty^infty e^-b x^2 d x=raizpib, se b>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica Quântica que pede para normalizar a densidade de probabilidade de posição de uma partícula. Ou seja, precisamos encontrar a constante $ A $ na função de onda $ \Psi(x, t) $ de tal forma que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de normalização e uma integral que envolve uma função exponencial quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. A densidade de probabilidade de posição é dada por $ |\Psi(x, t)|^2 $, e para estar corretamente normalizada, a integral dessa densidade ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
|Psi(x, t)|^2

Passo 3

Agora, vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda dada é:
|Psi(x, t)|^2
Quando a gente tira o módulo ao quadrado, os termos complexos se cancelam porque $ |e{i\theta}|2 = 1 $. Então:
Psi(x, t) = A e^-raizk m2 h x^2 e^-i t2 raizkm

Passo 4

Substituindo $ |\Psi(x, t)|^2 $ na integral de normalização, temos:
|Psi(x, t)|^2
Agora, vamos identificar a integral que aparece aqui. A integral é do tipo:
A^2 integral-infty^infty e^-raizk mh x^2 dx = 1
onde $ b = \frac{\sqrt{k m}}{h} $ no nosso caso.

Passo 5

Aplicando essa fórmula na nossa equação:
A^2 raizpiraizk mh = 1
Simplificando dentro da raiz:
A^2 raizpi hraizk m = 1

Passo 6

Agora, isolamos $ A^2 $:
A^2
Para achar $ A $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
A^2 = 1raizpi hraizk m = raizraizk mpi h

Resposta

A constante de normalização é:
A = (raizk, mpi, h)^14

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