1- Um bloco de massa 100 g está ligado a uma mola, e oscila horizontalmente sobre uma mesa sem atrito. No instante t=0,0 s, a mola é esticada de 5,0 cm e o bloco é abandonado a partir do repouso. Observa-se que o bloco oscila com período igual a 10 segundos.
a) Escreva a equação que x(t) que descreve o movimento do bloco.
b) Calcule a constante elástica da mola.
c) Obtenha uma expressão para a energia cinética K(t) e para a energia potencial U(t) e represente as em um gráfico no intervalo de tempo 0<t<T.
d) Se a amplitude for multiplicada por 2, mantendo-se a mesma velocidade inicial, explique o que acontecerá com os valores das seguintes grandezas; frequência, energia mecânica e velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, o problema é de Movimento Harmônico Simples (MHS): um bloco de massa m = 100 g preso a uma mola, sem atrito, inicia em t=0 com a mola esticada A = 5,0 cm e v(0)=0, e oscila com período T = 10 s.
O que precisamos saber para resolver:
  1. A forma geral do deslocamento em MHS:
    x(t)=Acos(omega t+varphi).
  2. A relação entre período e constante elástica:
    T=2piraizmk.
  3. A definição de energia cinética e potencial elástica:
    K=tfrac12mv^2, U=tfrac12kx^2.
  4. A velocidade em MHS:
    v(t)=-A,omegasin(omega t+varphi).

Passo 2

(a) Como em t=0 a massa parte de x(0)=+A e v(0)=0, a fase inicial é varphi=0.
A frequência angular é
omega=2piT=2pi10rm,s=pi5rm rad/s.
Logo
x(t)=Acos(omega t) =0,05cos!l(pi5,tr)(rm m)

Passo 3

(b) Da relação T=2piraizm/k isolamos k:
k=4pi^2mT^2 =4pi^2,(0,1,rm kg)(10,rm s)^2 =0,004pi^2approx0,0395;rm N/m

Passo 4

(c) Em MHS a energia potencial elástica e a cinética variam assim:
U(t)=tfrac12,k,x^2(t) =tfrac12,k,A^2cos^2(omega t),
K(t)=tfrac12,m,v^2(t) =tfrac12,m,(Aomega)^2sin^2(omega t) =tfrac12,k,A^2sin^2(omega t)
No intervalo 0<t<T:
  • U(t) começa em tfrac12kA^2 em t=0, cai até zero em t=T/4, volta a tfrac12kA^2 em t=T/2 etc.
  • K(t) é o “complemento” de U(t): começa em zero, atinge máximo em t=T/4, e assim por diante.

Passo 5

(d) Se dobramos a amplitude para A'=2A mas mantemos v(0) igual (ainda zero), temos um novo MHS com a mesma massa e mola, logo:
  • frequência (ou período) não muda, porque depende só de m e k;
  • energia mecânica E=tfrac12kA'^2 quadruplica (já que (2A)^2=4A^2);
  • velocidade máxima vmax=A'omega=2Aomega dobra em relação ao caso original.

Resposta

a) x(t)=0,05cos!l(tfracpi5tr) m
b) k=tfrac4pi^2mT^2=0,004pi^2approx0,0395 N/m
c)
U(t)=tfrac12,kA^2cos^2(omega t),
K(t)=tfrac12,kA^2sin^2(omega t),
com gráficos de cos^2 e sin^2 no intervalo 0<t<T.
d) Frequência inalterada; energia mecânica quadruplica; velocidade máxima dobra.

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