3- Determine se algumas das quantidades abaixo podem ter o mesmo sentido no movimento de uma partícula que oscila de forma harmônica. Explique:
a) posição e velocidade,
b) velocidade e aceleração,
c) posição e aceleração

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A ideia é ver se, nessa oscilação típica, algumas grandezas (posição x, velocidade v e aceleração a) podem ter o mesmo sentido (mesmo sinal) em certos instantes. Vamos precisar das fórmulas básicas do MHS:
  • posição: x(t)=Acos(omega t+varphi)
  • velocidade: v(t)=dxdt=-Aomegasin(omega t+varphi)
  • aceleração: a(t)=dvdt=-Aomega^2cos(omega t+varphi)

Passo 2

Primeiro, pega a teoria de derivadas e sinais:
  • Se costheta é positivo, theta está nos quadrantes I ou IV.
  • Se sintheta é positivo, theta está nos quadrantes I ou II.
  • v(t) tem um “menos” na frente de sin, e a(t) tem “menos” na frente de cos.
    Isso significa que o sinal de cada grandeza vai depender do sinal de cos(omega t+varphi) e de sin(omega t+varphi) e dos sinais adicionais dos fatores “−”.

Passo 3

a) posição x e velocidade v
  • xproptocostheta
  • vpropto -sintheta
    Queremos costheta e -sintheta com mesmo sinal.
  1. Se costheta>0 e sintheta<0 (quadrante IV), então x>0 e -sintheta>0implies v>0.
  2. Se costheta<0 e sintheta>0 (quadrante II), então x<0 e -sintheta<0implies v<0.
    Logo, existem instantes (quadrantes II e IV) em que x e v têm o mesmo sinal.

Passo 4

b) velocidade v e aceleração a
  • vpropto -sintheta
  • apropto -costheta
    Queremos -sintheta e -costheta com mesmo sinal.
  1. Quadrante I: sintheta>0, costheta>0 -sintheta<0, -costheta<0 v<0 e a<0.
  2. Quadrante III: sintheta<0, costheta<0 -sintheta>0, -costheta>0 v>0 e a>0.
    Portanto, em quadrantes I e III, v e a têm mesmo sinal.

Passo 5

c) posição x e aceleração a
  • xproptocostheta
  • apropto -costheta
    Aqui vemos direto que a=-omega^2 x. Isso significa que a está sempre com sinal oposto ao de x (exceto no instante em que x=0).
    Logo, nunca têm o mesmo sinal.

Resposta

a) Sim, x e v podem ter o mesmo sinal (quadrantes II e IV).
b) Sim, v e a podem ter o mesmo sinal (quadrantes I e III).
c) Não, x e a estão sempre com sinais opostos.

Exercícios relacionados