3- Determine se algumas das quantidades abaixo podem ter o mesmo sentido no movimento de uma partícula que oscila de forma harmônica. Explique:
a) posição e velocidade,
b) velocidade e aceleração,
c) posição e aceleração
a) posição e velocidade,
b) velocidade e aceleração,
c) posição e aceleração
Passo 1
Beleza, temos aqui um exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A ideia é ver se, nessa oscilação típica, algumas grandezas (posição x, velocidade v e aceleração a) podem ter o mesmo sentido (mesmo sinal) em certos instantes. Vamos precisar das fórmulas básicas do MHS:
- posição:
- velocidade:
- aceleração:
Passo 2
Primeiro, pega a teoria de derivadas e sinais:
- Se
é positivo, está nos quadrantes I ou IV. - Se
é positivo, está nos quadrantes I ou II. -
tem um “menos” na frente de , e tem “menos” na frente de .
Isso significa que o sinal de cada grandeza vai depender do sinal dee de e dos sinais adicionais dos fatores “−”.
Passo 3
a) posição
e velocidade
-
-
Queremose com mesmo sinal.
- Se
e (quadrante IV), então e . - Se
e (quadrante II), então e .
Logo, existem instantes (quadrantes II e IV) em quee têm o mesmo sinal.
Passo 4
b) velocidade
e aceleração
-
-
Queremose com mesmo sinal.
- Quadrante I:
, → , → e . - Quadrante III:
, → , → e .
Portanto, em quadrantes I e III,e têm mesmo sinal.
Passo 5
c) posição
e aceleração
-
-
Aqui vemos direto que. Isso significa que está sempre com sinal oposto ao de (exceto no instante em que ).
Logo, nunca têm o mesmo sinal.
Resposta
a) Sim,
e
podem ter o mesmo sinal (quadrantes II e IV).
b) Sim, e
podem ter o mesmo sinal (quadrantes I e III).
c) Não, e
estão sempre com sinais opostos.
b) Sim,
c) Não,