Uma fina haste de plástico é dobrada na forma de um semicírculo de raio R e possui carga Q uniformly distribuída sobre seu comprimento. Determine a força sobre uma carga q localizada no centro do semicírculo. Resp.: F=K Q qpi R^2.

Passo 1

O problema trata de eletrostática e pede a força resultante sobre uma carga pontual q colocada no centro de um semicírculo de raio R. A carga total Q está uniformemente distribuída ao longo da haste, de modo que podemos usar a densidade linear de carga, a Lei de Coulomb e simetria para calcular a força.

Passo 2

Como o semicírculo tem comprimento L=pi R e a carga total é Q, a densidade linear de carga é
lambda = Qpi R

Passo 3

Tomamos um elemento de carga
dQ = lambda,ds = lambda,R,dtheta
onde theta varia de 0 a pi. A distância de cada elemento até o centro é R, e pela Lei de Coulomb o módulo da força que ele exerce sobre q é
dF = K,q,dQR^2 = K,q,lambda,R,dthetaR^2 = K,q,lambdaR,dtheta

Passo 4

Devido à simetria, as componentes horizontais da força se cancelam, restando apenas a componente vertical. Se medirmos theta a partir do eixo horizontal, essa componente é dFy=dFsintheta. Assim
F =integral0^pidFy =integral0^piK,q,lambdaR,sintheta,dtheta =K,q,lambdaRintegral0^pisintheta,dtheta

Passo 5

Calculamos a integral trigonométrica:
integral0^pisintheta,dtheta =l[-costhetar]0^pi =2
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F =K,q,lambdaRtimes 2 =2K,q,Qpi R^2

Resposta

F=2,K,Q,qpi,R^2

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