1. Um bloco de 3,5 \mathrm{~kg} é empurrado sobre uma superfície horizontal por uma força \vec{F} de intensidade igual a 15 N que faz um ângulo de 40^{\circ} com a horizontal conforme figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é de 0,25 . Calcule a intensidade (a) da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) a aceleração do bloco. (c) Qual a intensidade da força \vec{F} que fará com que o bloco se mova com velocidade constante?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a intensidade da força de atrito cinético que o piso exerce sobre o bloco;
  • (b) a aceleração do bloco;
  • (c) a intensidade da força \vec{F} (para um ângulo de 40^\circ) que faz com que o bloco se mova com velocidade constante (ou seja, aceleração nula).
Informações dadas:
m=3{,}5\\ \mathrm{kg},\quad F=15\\ \mathrm{N},\quad \theta=40^\circ,\quad \mu_k=0{,}25.
Assumo a gravidade \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. A figura mostra \vec{F} inclinada para baixo em relação à horizontal (ângulo de 40^\circ abaixo da horizontal).

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no bloco e escrevê-las com clareza:
  • peso para baixo: \vec{P} com intensidade \,P=mg;
  • força normal do piso para cima: \vec{N} com intensidade N (a determinar);
  • força aplicada \vec{F} de intensidade 15\\ \mathrm{N}, inclinada 40^\circ abaixo da horizontal;
  • força de atrito cinético \vec{f}_k, cujo módulo é \,f_k=\mu_k N e que atua horizontalmente, oposta ao movimento (ou à tendência de movimento).
Para manipular \vec{F} é útil decompor em componentes horizontal e vertical. Usamos as definições trigonométricas:
  • componente horizontal (para a direita): \,F_x=F\cos\theta;
  • componente vertical (para baixo, já que a força está abaixo da horizontal): \,F_y=F\sin\theta.
Explicando rápido: \cos\theta dá a parte da força que é paralela à horizontal e \sin\theta a que é paralela à vertical quando o ângulo é medido a partir da horizontal.

Passo 3

Equilíbrio na direção vertical (não há aceleração vertical). Somando forças verticais tomando para cima sinal positivo:
N - P - F_y = 0.
Substituindo P=mg e F_y=F\sin\theta, obtemos a expressão do normal:
N = mg + F\sin\theta.
Aqui N aumenta porque a componente vertical de \vec{F} empurra o bloco para baixo, aumentando a reação do piso.

Passo 4

Força de atrito cinético tem módulo
f_k=\mu_k N.
Substituindo a expressão de N do passo anterior:
f_k=\mu_k\bigl(mg+F\sin\theta\bigr).
Isso é uma fórmula bem usada: atrito proporcional à normal; se uma força tem componente vertical para baixo, ela aumenta a normal e, portanto, aumenta o atrito.

Passo 5

Agora a equação do movimento na horizontal (eixo x). Força resultante na horizontal:
F_{\text{res},x}=F_x - f_k = ma,
ou seja,
F\cos\theta - f_k = ma.
Isolando a,
a=\frac{F\cos\theta - f_k}{m}.
Esse cálculo dá a aceleração do bloco (positiva se o bloco acelerar para a direita).

Passo 6

Agora vamos calcular numericamente passo a passo (uso aproximações trigonométricas com 3–4 algarismos para ser prático):
\sin 40^\circ \approx 0{,}6428,\qquad \cos 40^\circ \approx 0{,}7660.
Calcule o peso:
mg = 3{,}5\cdot 9{,}8 = 34{,}3\\ \mathrm{N}.
Componente vertical de \vec{F}:
F\sin\theta = 15\cdot 0{,}6428 \approx 9{,}642\\ \mathrm{N}.
Normal:
N = mg + F\sin\theta \approx 34{,}3 + 9{,}642 = 43{,}942\\ \mathrm{N}.
Força de atrito:
f_k = \mu_k N = 0{,}25\cdot 43{,}942 \approx 10{,}9855\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente: f_k\approx 10{,}99\\ \mathrm{N}.
Componente horizontal de \vec{F}:
F\cos\theta = 15\cdot 0{,}7660 \approx 11{,}49\\ \mathrm{N}.
Força resultante horizontal:
F\cos\theta - f_k \approx 11{,}49 - 10{,}9855 = 0{,}5045\\ \mathrm{N}.
Aceleração:
a=\frac{0{,}5045}{3{,}5}\approx 0{,}14414\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando: a\approx 0{,}144\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Agora a parte (c): queremos a intensidade de \vec{F} tal que o bloco se mova com velocidade constante, ou seja a=0. Usando a equação horizontal com a=0:
F\cos\theta - f_k = 0.
Lembrando que f_k=\mu_k\bigl(mg+F\sin\theta\bigr), substituímos:
F\cos\theta - \mu_k\bigl(mg+F\sin\theta\bigr)=0.
Agrupando os termos com F:
F\cos\theta - \mu_k F\sin\theta = \mu_k mg,
F\bigl(\cos\theta - \mu_k\sin\theta\bigr)=\mu_k mg.
Logo
F=\frac{\mu_k mg}{\cos\theta - \mu_k\sin\theta}.
Essa fórmula é muito útil: lembra que o denominador precisa ser positivo para existir solução física; aqui ele é positivo, porque a componente horizontal vence a parcela associada ao atrito.

Passo 8

Calcule numericamente \,F para velocidade constante.
Primeiro o numerador:
\mu_k mg = 0{,}25\cdot 3{,}5\cdot 9{,}8 = 8{,}575\\ \mathrm{N}.
Denominador:
\cos\theta - \mu_k\sin\theta \approx 0{,}7660 - 0{,}25\cdot 0{,}6428 = 0{,}7660 - 0{,}1607 = 0{,}6053.
Logo
F=\frac{8{,}575}{0{,}6053}\approx 14{,}17\\ \mathrm{N}.
Arredondando: F\approx 14{,}2\\ \mathrm{N}.
Observação prática: isso explica por que com F=15\\ \mathrm{N} (maior que 14{,}2\\ \mathrm{N}) o bloco tem pequena aceleração positiva (o que encontramos em (b)).

Resposta

(a) f_k\approx 10{,}99\\ \mathrm{N}
(b) a\approx 0{,}144\\ \mathrm{m/s^2}
(c) F\approx 14{,}2\\ \mathrm{N}

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