Uma partícula de massa
está em movimento circular com velocidade angular
. O raio da órbita da partícula é
. Considere o referencial com a origem no centro das trajetórias e o eixo
sendo o eixo horizontal apontado para direita.
a) Determine a expressão da posição angular.
b) Determine as expressões das posições ao longo do eixo
e
.
c) Determine as coordenadas
e
de quando a partícula pára.
d) Qual a direção e sentido do vetor
.
a) Determine a expressão da posição angular.
b) Determine as expressões das posições ao longo do eixo
c) Determine as coordenadas
d) Qual a direção e sentido do vetor
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
-
Informações fornecidas:
- A função da velocidade angular é
. - O movimento é circular de raio
. - O referencial tem origem no centro da trajetória e o eixo
aponta para a direita. - A massa
é informada, mas não é necessária para as partes pedidas (ela seria necessária se pedissem energia ou força). - O enunciado não deu explicitamente a posição angular inicial; eu vou tratar a posição angular inicial como
(caso natural). Se quiseres, podes tomar para simplificar; eu vou manter e só no final tu podes pôr se preferires.
- A função da velocidade angular é
-
Perguntas pedidas:
a) Determinar a expressão da posição angular.
b) Determinar as expressões das posições ao longo dos eixose , ou seja e .
c) Determinar as coordenadase do ponto onde a partícula pára (isto é, quando a velocidade linear tangencial é zero).
d) Qual a direção e sentido do vetor(interpreto isto como pedir a forma e o sentido do versor azimutal ).
Passo 2
Relação fundamental entre velocidade angular e posição angular: a velocidade angular é a derivada temporal da posição angular. Em termos matemáticos:
Isto significa que, para obter
, basta integrar
em relação a
. Vou explicar passo a passo a integração (sem pular etapas):
- Começamos com
. - Integrando ambos os lados em
obtemos
onde eu escrevi a integral com variável dummy
e adicionei
como constante de integração — isto é, o valor inicial da posição angular.
Agora calculo a integral peça a peça:
- Integral de
em é . - Integral de
em é .
Portanto, avaliando de
a
,
Isto responde a parte (a):
é a antiderivada de
mais a constante inicial
. (Se tomares
, a expressão fica sem o termo
.)
Passo 3
Agora vamos para as coordenadas cartesianas
e
. Explico o que usamos e por quê:
- Em coordenadas polares (raio
fixo, ângulo ), a posição vetorial da partícula é . - A relação entre os versores polares e os eixos cartesianos é
- Assim, as coordenadas cartesianas são dadas por
Substituindo a expressão de
obtida no Passo 2 temos explicitamente:
Explicação adicional curta (para a prova): sempre que tens movimento circular de raio constante, x e y são simplesmente
e
; a dificuldade é achar
, que já fizemos.
Passo 4
Agora determinar quando a partícula pára e quais são as coordenadas nesse instante.
- Condição física de “parar”: a velocidade linear tangencial
vale . A partícula pára quando , logo quando . - Resolver
com :
Fatorando
:
Isto dá duas soluções:
(o instante inicial, trivial) e a solução não-nula
Observação de sinal: para que
é necessário que
. Normalmente assumimos
e
para um caso físico onde começa com velocidade crescente e depois diminui até parar; se os sinais forem outros, o raciocínio formal segue igual, apenas o tempo pode ser negativo ou nulo (neste caso verificar interpretação física).
Passo 5
Calcular o ângulo
no instante
e as coordenadas
e
.
- Usamos a expressão de
do Passo 2 e substituímos .
Faço a conta com cuidado (mostrando cada termo):
-
. -
.
Agora
Substituindo os valores acima:
Agora simplifico termo a termo:
Subtraindo:
Portanto o ângulo no qual a partícula pára é
As coordenadas
desse ponto são então (substituindo
nas fórmulas
,
):
Se tomarmos
(caso comum para simplificar), então
Passo 6
Explicar a direção e o sentido do vetor
(interpreto como o versor azimutal
) de forma didática:
- Em coordenadas polares o versor radial é
- O versor azimutal
é um vetor unitário tangente à trajetória, perpendicular a , e apontando na direção do aumento de . Matematicamente obtém-se:
- Interpretação física e sentido:
-
é tangente à circunferência, apontando no sentido em que aumenta. - Se
num dado instante, o sentido do movimento é no sentido de (ou seja, movimento anti-horário se mede ângulo positivo no sentido anti-horário). - Se
, a partícula se move no sentido oposto a (sentido horário). - No instante exato em que a partícula pára (
), o vetor velocidade é zero, mas continua sendo o versor tangencial formal dado acima (aponta na direção que a partícula teria se começasse a girar no sentido de crescente).
-
Dica prática para a prova: lembrares que
é sempre obtido girando
por
(no sentido anti-horário), e que a velocidade linear tangencial é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Direção: tangente à trajetória, perpendicular ao raio. Expressão do versor:
Sentido: aponta na direção de aumento de (ou seja, se
o movimento é no sentido de
— anti-horário — e se
é no sentido oposto).
Sentido: aponta na direção de aumento de