Uma partícula de massa m está em movimento circular com velocidade angular \omega=\omega_{0} t-\frac{c}{3} t^{2}. O raio da órbita da partícula é R. Considere o referencial com a origem no centro das trajetórias e o eixo x sendo o eixo horizontal apontado para direita.
a) Determine a expressão da posição angular.
b) Determine as expressões das posições ao longo do eixo \hat{x} e \hat{y}.
c) Determine as coordenadas X e Y de quando a partícula pára.
d) Qual a direção e sentido do vetor \vec{\theta}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
  • Informações fornecidas:
    • A função da velocidade angular é \omega(t)=\omega_{0}t-\dfrac{c}{3}t^{2}.
    • O movimento é circular de raio R.
    • O referencial tem origem no centro da trajetória e o eixo \hat{x} aponta para a direita.
    • A massa m é informada, mas não é necessária para as partes pedidas (ela seria necessária se pedissem energia ou força).
    • O enunciado não deu explicitamente a posição angular inicial; eu vou tratar a posição angular inicial como \theta(0)=\theta_{0} (caso natural). Se quiseres, podes tomar \theta_{0}=0 para simplificar; eu vou manter \theta_{0} e só no final tu podes pôr 0 se preferires.
  • Perguntas pedidas:
    a) Determinar a expressão da posição angular \theta(t).
    b) Determinar as expressões das posições ao longo dos eixos \hat{x} e \hat{y}, ou seja x(t) e y(t).
    c) Determinar as coordenadas X e Y do ponto onde a partícula pára (isto é, quando a velocidade linear tangencial é zero).
    d) Qual a direção e sentido do vetor \vec{\theta} (interpreto isto como pedir a forma e o sentido do versor azimutal \hat{\theta}).

Passo 2

Relação fundamental entre velocidade angular e posição angular: a velocidade angular é a derivada temporal da posição angular. Em termos matemáticos:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Isto significa que, para obter \theta(t), basta integrar \omega(t) em relação a t. Vou explicar passo a passo a integração (sem pular etapas):
  • Começamos com \omega(t)=\omega_{0}t-\dfrac{c}{3}t^{2}.
  • Integrando ambos os lados em t obtemos
\theta(t)=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\left(\omega_{0}t'-\frac{c}{3}t'^{2}\right)\,dt',
onde eu escrevi a integral com variável dummy t' e adicionei \theta_{0}=\theta(0) como constante de integração — isto é, o valor inicial da posição angular.
Agora calculo a integral peça a peça:
  • Integral de \omega_{0}t' em t' é \omega_{0}\dfrac{t'^{2}}{2}.
  • Integral de \dfrac{c}{3}t'^{2} em t' é \dfrac{c}{3}\cdot\dfrac{t'^{3}}{3}=\dfrac{c}{9}t'^{3}.
Portanto, avaliando de 0 a t,
\theta(t)=\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}.
Isto responde a parte (a): \theta(t) é a antiderivada de \omega(t) mais a constante inicial \theta_{0}. (Se tomares \theta_{0}=0, a expressão fica sem o termo \theta_{0}.)

Passo 3

Agora vamos para as coordenadas cartesianas x(t) e y(t). Explico o que usamos e por quê:
  • Em coordenadas polares (raio R fixo, ângulo \theta(t)), a posição vetorial da partícula é \vec{r}(t)=R\,\hat{r}(t).
  • A relação entre os versores polares e os eixos cartesianos é
\hat{r}=\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y}.
  • Assim, as coordenadas cartesianas são dadas por
x(t)=R\cos\big(\theta(t)\big),\qquad y(t)=R\sin\big(\theta(t)\big).
Substituindo a expressão de \theta(t) obtida no Passo 2 temos explicitamente:
x(t)=R\cos\!\left(\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}\right),
y(t)=R\sin\!\left(\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}\right).
Explicação adicional curta (para a prova): sempre que tens movimento circular de raio constante, x e y são simplesmente R\cos\theta e R\sin\theta; a dificuldade é achar \theta(t), que já fizemos.

Passo 4

Agora determinar quando a partícula pára e quais são as coordenadas nesse instante.
  • Condição física de “parar”: a velocidade linear tangencial v_{\text{tan}} vale v_{\text{tan}}=R\,\omega(t). A partícula pára quando v_{\text{tan}}=0, logo quando \omega(t)=0.
  • Resolver \omega(t)=0 com \omega(t)=\omega_{0}t-\dfrac{c}{3}t^{2}:
\omega_{0}t-\frac{c}{3}t^{2}=0.
Fatorando t:
t\left(\omega_{0}-\frac{c}{3}t\right)=0.
Isto dá duas soluções: t=0 (o instante inicial, trivial) e a solução não-nula
t_{\text{par}}=\frac{3\omega_{0}}{c}.
Observação de sinal: para que t_{\text{par}}>0 é necessário que \omega_{0}/c>0. Normalmente assumimos c>0 e \omega_{0}>0 para um caso físico onde começa com velocidade crescente e depois diminui até parar; se os sinais forem outros, o raciocínio formal segue igual, apenas o tempo pode ser negativo ou nulo (neste caso verificar interpretação física).

Passo 5

Calcular o ângulo \theta no instante t_{\text{par}} e as coordenadas X e Y.
  • Usamos a expressão de \theta(t) do Passo 2 e substituímos t_{\text{par}}=\dfrac{3\omega_{0}}{c}.
Faço a conta com cuidado (mostrando cada termo):
  • t_{\text{par}}^{2}=\dfrac{9\omega_{0}^{2}}{c^{2}}.
  • t_{\text{par}}^{3}=\dfrac{27\omega_{0}^{3}}{c^{3}}.
Agora
\theta(t_{\text{par}})=\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t_{\text{par}}^{2}-\frac{c}{9}t_{\text{par}}^{3}.
Substituindo os valores acima:
\theta(t_{\text{par}})=\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}\cdot\frac{9\omega_{0}^{2}}{c^{2}}-\frac{c}{9}\cdot\frac{27\omega_{0}^{3}}{c^{3}}.
Agora simplifico termo a termo:
\frac{\omega_{0}}{2}\cdot\frac{9\omega_{0}^{2}}{c^{2}}=\frac{9}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}},
\frac{c}{9}\cdot\frac{27\omega_{0}^{3}}{c^{3}}=3\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}.
Subtraindo:
\theta(t_{\text{par}})=\theta_{0}+\left(\frac{9}{2}-3\right)\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}} =\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}.
Portanto o ângulo no qual a partícula pára é
\theta_{\text{par}}=\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}.
As coordenadas (X,Y) desse ponto são então (substituindo \theta_{\text{par}} nas fórmulas x=R\cos\theta, y=R\sin\theta):
X=R\cos\!\left(\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right),
Y=R\sin\!\left(\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right).
Se tomarmos \theta_{0}=0 (caso comum para simplificar), então
\theta_{\text{par}}=\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}},\quad X=R\cos\!\left(\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right),\quad Y=R\sin\!\left(\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right).

Passo 6

Explicar a direção e o sentido do vetor \vec{\theta} (interpreto como o versor azimutal \hat{\theta}) de forma didática:
  • Em coordenadas polares o versor radial é
\hat{r}=\cos\theta\,\hat{x}+\sin\theta\,\hat{y}.
  • O versor azimutal \hat{\theta} é um vetor unitário tangente à trajetória, perpendicular a \hat{r}, e apontando na direção do aumento de \theta. Matematicamente obtém-se:
\hat{\theta}=-\sin\theta\,\hat{x}+\cos\theta\,\hat{y}.
  • Interpretação física e sentido:
    • \hat{\theta} é tangente à circunferência, apontando no sentido em que \theta aumenta.
    • Se \omega(t)>0 num dado instante, o sentido do movimento é no sentido de \hat{\theta} (ou seja, movimento anti-horário se \theta mede ângulo positivo no sentido anti-horário).
    • Se \omega(t)<0, a partícula se move no sentido oposto a \hat{\theta} (sentido horário).
    • No instante exato em que a partícula pára ( \omega=0), o vetor velocidade é zero, mas \hat{\theta} continua sendo o versor tangencial formal dado acima (aponta na direção que a partícula teria se começasse a girar no sentido de \theta crescente).
Dica prática para a prova: lembrares que \hat{\theta} é sempre obtido girando \hat{r} por +90^\circ (no sentido anti-horário), e que a velocidade linear tangencial é v=R\,\omega\,\hat{\theta}.

Resposta

(a) \displaystyle \theta(t)=\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}.
(b) \displaystyle x(t)=R\cos\!\left(\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}\right),\quad y(t)=R\sin\!\left(\theta_{0}+\frac{\omega_{0}}{2}t^{2}-\frac{c}{9}t^{3}\right).
(c) \displaystyle t_{\text{par}}=\frac{3\omega_{0}}{c},\quad X=R\cos\!\left(\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right),\quad Y=R\sin\!\left(\theta_{0}+\frac{3}{2}\frac{\omega_{0}^{3}}{c^{2}}\right).
(d) Direção: tangente à trajetória, perpendicular ao raio. Expressão do versor:
\displaystyle \hat{\theta}=-\sin\theta\,\hat{x}+\cos\theta\,\hat{y}.
Sentido: aponta na direção de aumento de \theta (ou seja, se \omega>0 o movimento é no sentido de \hat{\theta} — anti-horário — e se \omega<0 é no sentido oposto).

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