Um cilindro (I = MR²/2) desce rolando por um plano inclinado com inclinação theta=40^circ. O cilindro percorre uma distância d = 4,82m ao longo do plano para chegar à base. Considerando a velocidade inicial nula, qual será a velocidade linear do centro de massa do cilindro ao chegar à base do plano? (g=10 m / s^2).
Resposta: 6,9m/s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um cilindro rolando por um plano inclinado com um ângulo de 40^circ e precisa descobrir a velocidade dele ao chegar na base, depois de percorrer 4,82 metros. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica de corpos rígidos rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O cilindro começa parado no topo do plano inclinado e desce rolando sem deslizar. Isso significa que ele está convertendo a energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e rotação.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial inicial do cilindro. A energia potencial ( U) é dada por:
U = mgh
Onde:
  • m é a massa do cilindro,
  • g é a aceleração da gravidade ( 10 , m/s²²),
  • h é a altura vertical do plano inclinado.
Mas a gente não tem a altura diretamente. Sabemos a distância percorrida ao longo do plano ( d = 4,82 , m) e o ângulo de inclinação ( theta = 40^circ), então podemos encontrar h usando:
h = d cdot sin(theta)
h = 4,82 cdot sin(40^circ) approx 4,82 cdot 0,6428 approx 3,095 , m

Passo 4

Agora, a energia cinética total ( K) quando o cilindro chega na base é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
K = 12mv² + 12Iω² ²²
Como o cilindro está rolando sem deslizar, a velocidade angular ( ω) está relacionada à velocidade linear ( v) pela equação:
ω = vR
E o momento de inércia ( I) para um cilindro sólido é:
I = 12mR² ²

Passo 5

Substituindo I e ω na expressão da energia cinética:
K = 12mv² + 12 cdot 12mR² cdot (vR)^2 ²²
Simplificando:
K = 12mv² + 14mv² = 34mv² ²²²

Passo 6

Pelo princípio da conservação da energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética final:
mgh = 34mv² ²
Podemos cancelar a massa ( m) dos dois lados:
gh = 34v² ²

Passo 7

Agora, isolamos v:
v² = 43gh ²
v = raiz43gh

Passo 8

Substituindo os valores:
v = raiz43 cdot 10 cdot 3,095
v = raiz43 cdot 30,95
v = raiz41,267 approx 6,42 , m/s

Passo 9

Arredondando para uma casa decimal, obtemos:
v approx 6,4 , m/s

Resposta

A velocidade linear do centro de massa do cilindro ao chegar à base do plano é aproximadamente 6,4 , m/s.

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