Um cilindro (I = MR²/2) desce rolando por um plano inclinado com inclinação
. O cilindro percorre uma distância d = 4,82m ao longo do plano para chegar à base. Considerando a velocidade inicial nula, qual será a velocidade linear do centro de massa do cilindro ao chegar à base do plano?
.
Resposta: 6,9m/s
Resposta: 6,9m/s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um cilindro rolando por um plano inclinado com um ângulo de
e precisa descobrir a velocidade dele ao chegar na base, depois de percorrer
metros. Vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica de corpos rígidos rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O cilindro começa parado no topo do plano inclinado e desce rolando sem deslizar. Isso significa que ele está convertendo a energia potencial gravitacional em energia cinética de translação e rotação.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial inicial do cilindro. A energia potencial (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do cilindro, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura vertical do plano inclinado.
Mas a gente não tem a altura diretamente. Sabemos a distância percorrida ao longo do plano (
) e o ângulo de inclinação (
), então podemos encontrar
usando:
Passo 4
Agora, a energia cinética total (
) quando o cilindro chega na base é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Como o cilindro está rolando sem deslizar, a velocidade angular (
) está relacionada à velocidade linear (
) pela equação:
E o momento de inércia (
) para um cilindro sólido é:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da energia cinética:
Simplificando:
Passo 6
Pelo princípio da conservação da energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética final:
Podemos cancelar a massa (
) dos dois lados:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Substituindo os valores:
Passo 9
Arredondando para uma casa decimal, obtemos:
Resposta
A velocidade linear do centro de massa do cilindro ao chegar à base do plano é aproximadamente
.