Um bloco de massa cai sobre o topo de uma mola vertical, de constante elástica k. Se o bloco é abandonado a partir de uma altura h acima do topo da mola, a) qual é a energia cinética máxima do bloco? b) Qual é a compressão máxima da mola?

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de massa m é abandonado do repouso a uma altura h acima do topo de uma mola vertical de constante elástica k. Queremos (a) a energia cinética máxima que o bloco atinge durante a queda e (b) a máxima compressão x_{\max} da mola. O conteúdo principal aqui é conservação de energia mecânica, incluindo energia potencial gravitacional, energia cinética e energia potencial elástica.

Passo 2

Marcamos a altura zero de potencial gravitacional no topo da mola. Quando o bloco caiu uma distância h e comprimiu a mola de uma distância x, a conservação de energia escreve
mgh \;=\; K(x) \;+\; mgx \;+\;\tfrac12\,k\,x^2,
onde K(x) é a energia cinética do bloco no instante em que a mola está comprimida de x.

Passo 3

Isolando K(x), temos
K(x)=mgh \;-\;mgx\;-\;\frac12\,k\,x^2.
Para encontrar o valor máximo de K(x) na faixa 0\le x\le x_{\max}, observamos que
\frac{dK}{dx}=-mg - kx<0\quad\text{para todo }x\ge0.
Logo, K(x) é decrescente em x e atinge seu máximo quando x=0, ou seja, no instante em que a mola ainda não começou a comprimir.

Passo 4

Substituindo x=0 em K(x), obtemos a energia cinética máxima
\boxed{K_{\max}=mgh.}

Passo 5

Para achar a compressão máxima x_{\max}, consideramos o ponto em que o bloco momentaneamente pára, isto é, K=0. Da conservação de energia em x=x_{\max}:
mgh = mg\,x_{\max} + \tfrac12\,k\,x_{\max}^2.
Rearranjando, surge a equação quadrática em x_{\max}:
\tfrac12\,k\,x_{\max}^2 + mg\,x_{\max} - mgh = 0.
Resolvendo-a (pela fórmula de Bhaskara), tomamos a raiz positiva:
x_{\max} =\frac{-mg + \sqrt{(mg)^2 + 2k\,mgh}}{k} =\frac{\sqrt{m^2g^2+2k\,mgh}\;-\;mg}{k}.

Resposta

K_{\max}=mgh
x_{\max}=\frac{\sqrt{(mg)^2+2k\,mgh}\;-\;mg}{k}.

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