Um solenóide longo, de comprimento 0,876 \mathrm{~m} e de raio 1,00 \mathrm{~cm} possui 212 espiras. Por ele passa uma corrente que varia no tempo na forma I(t)=a t, onde a é uma constante que vale 2,92 \mathrm{~A} / \mathrm{s}.
(a) Calcule a indutância do solenóide, considerando este como ideal.
(b) Calcule a intensidade do campo elétrico induzido a uma distância \mathrm{r}=0,751 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide, sobre o plano normal ao eixo que corta o solenóide ao meio.
(a) (4 pontos) (A) 1,87 \times 10^{-3} \mathrm{H}, (B) 2,36 \times 10^{-7} \mathrm{H}, (C) 9,00 \times 10^{-7} \mathrm{H}, (D) 9,58 \times 10^{-4} \mathrm{H}, (E) 6,79 \times 10^{-4} \mathrm{H}, (F) 1,52 \times 10^{-7} \mathrm{H}, (G) 2,70 \times 10^{-7} \mathrm{H}, (H) 3,17 \times 10^{-3} \mathrm{H}, (J) 9,58 \times 10^{-8} \mathrm{H}, (L) 1,16 \times 10^{-3} \mathrm{H}, (M) 1,37 \times 10^{-5} \mathrm{H}, (O) 3,07 \times 10^{-3} \mathrm{H}, § 5,95 \times 10^{-5} \mathrm{H}
(b) (4 pontos) (A) 1,32 \times 10^{-5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (B) 4,45 \times 10^{-6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 7,18 \times 10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (C) 8,15 \times 10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (D) 4,96 \times 10^{-5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (E) 4,11 \times 10^{-3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (H) 3,34 \times 10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (I) 1,54 \times 10^{-3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (K) 9,34 \times 10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (L) 1,03 \times 10^{-3} \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{M}) 3,34 \times 10^{-6} \mathrm{~V} / \mathrm{m},(\mathrm{N}) 1,58 \times 10^{-5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (O) 1,02 \times 10^{-5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, § 1,20 \times 10^{-5} \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado nos dá um solenóide longo de comprimento l=0{,}876\\ \mathrm m, raio R=1{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0100\\ \mathrm m e N=212 espiras. A corrente varia como
I(t)=a\,t,
com a=2{,}92\\ \mathrm{A/s}.
Conteúdo: indutância de um solenóide ideal e campo elétrico induzido por variação de fluxo magnético.

Passo 2

Para um solenóide longo e ideal a indutância é
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2} A}{l},
onde A=\pi R^{2} é a área da seção e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 3

Calculemos A e insiramos
A = \pi\,(0{,}0100)^{2}=3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
L = 4\pi\times10^{-7}\,\frac{(212)^{2}\,\bigl(3{,}1416\times10^{-4}\bigr)}{0{,}876}\approx2{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{H}.

Passo 4

Para achar o campo elétrico induzido num círculo de raio r=0{,}751\\ \mathrm{cm}=0{,}00751\\ \mathrm m no plano do meio do solenóide, usamos a lei de Faraday em forma integral:
\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;-\,\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Dentro do solenóide o campo magnético é B=\mu_{0}nI, com n=N/l. Num caminho circular de raio r,
\Phi_{B}=B\cdot\pi r^{2},\quad \frac{d\Phi_{B}}{dt}=\mu_{0}n\frac{dI}{dt}\,\pi r^{2}=\mu_{0}\,n\,a\,\pi r^{2}.

Passo 5

Como \displaystyle\oint E\,dl = E\,(2\pi r), temos
E\,(2\pi r)=-\,\mu_{0}\,n\,a\,\pi r^{2} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\mu_{0}\,n\,a\,r}{2}.
Substituindo n=N/l, obtém-se
E=\frac{\mu_{0}\,(212/0{,}876)\,(2{,}92)\,(0{,}00751)}{2} \approx3{,}34\times10^{-6}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

(a) L\approx2{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{H}
(b) E\approx3{,}34\times10^{-6}\\ \mathrm{V/m}

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