Um bloco de massa igual a 3,0 kg, partindo do repouso, desliza por uma distância d em direção à base de um plano inclinado sem atrito, que faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. Na base do plano inclinado, há uma mola de massa desprezível. Após encontrar a mola, o bloco percorre mais 20 cm , até parar momentaneamente. A constante elástica da mola é igual a 400 N / m.
2a. Qual o valor de d ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de 3,0 kg que começa parado e desliza por uma distância $ d $ em um plano inclinado de 30 graus sem atrito. Na base desse plano, tem uma mola que comprime 20 cm (0,20 m) antes de o bloco parar. A constante elástica da mola é 400 N/m. A gente quer descobrir qual é o valor de $ d $, a distância que o bloco percorre no plano inclinado antes de atingir a mola.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de energia potencial gravitacional e energia potencial elástica. Vamos precisar lembrar das fórmulas dessas energias e entender como elas se relacionam nesse sistema sem atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial elástica armazenada na mola quando ela é comprimida. A fórmula para a energia potencial elástica ($ U_e $) é:
Ue
Onde:
  • $ k $ é a constante da mola (400 N/m)
  • $ x $ é a distância que a mola é comprimida (0,20 m)
Substituindo os valores:
Ue = 12 k x^2
Então, a mola armazena 8 Joules de energia quando comprimida.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia que o bloco tem quando está descendo o plano inclinado. Como não há atrito, toda a energia potencial gravitacional ($ U_g $) que o bloco perde ao descer é convertida em energia cinética e, na hora de parar, essa energia cinética é convertida na energia potencial elástica da mola.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Ug
Onde:
  • $ m $ é a massa do bloco (3,0 kg)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²)
  • $ h $ é a altura vertical que o bloco desce
Mas precisamos relacionar a altura $ h $ com a distância $ d $ no plano inclinado. Como o plano faz um ângulo de $ 30^\circ $ com a horizontal, temos:
Ug = m g h
Onde $ \theta = 30^\circ $.
Então, substituindo $ h $ na fórmula de $ U_g $:
m

Passo 4

Como a energia potencial gravitacional perdida pelo bloco é igual à energia armazenada na mola, temos:
m g d sin(theta) = 12 k x^2
Já calculamos que $ \frac{1}{2} k x^2 = 8 , J $. Agora vamos isolar $ d $ na equação:
12 k x^2 = 8 , J
Substituindo os valores conhecidos:
d
Sabemos que $ \sin(30^\circ) = 0,5 $, então:
d = 12 k x^2m g sin(theta)

Resposta

A distância $ d $ que o bloco percorre no plano inclinado antes de atingir a mola é aproximadamente 0,544 metros.

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