Um bloco de massa igual a
, movendo-se inicialmente à velocidade
, é freado por uma mola cuja constante elástica vale
. Calcule (a) a compressão máxima
da mola; (b) a velocidade do bloco quando a compressão da mola é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A compressão máxima
da mola quando o bloco pára momentaneamente. - (b) A velocidade do bloco quando a compressão da mola é
.
Dados fornecidos:
Observação: o enunciado não menciona forças dissipativas (atrito, resistência), portanto assumimos que a energia mecânica é conservada durante o processo (energia cinética se transforma em energia potencial elástica).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
- Energia cinética de um corpo de massa
e velocidade :
onde
é a massa (em kg) e
é a velocidade (em m/s). Essa fórmula dá a energia associada ao movimento.
- Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida (ou esticada) de constante elástica
e deformação :
onde
é a constante da mola (N/m) e
é a compressão/elongação (m). Essa fórmula vem da integração da força elástica
.
- Conservação da energia mecânica (quando não há perda por atrito):
ou seja, energia cinética inicial = energia potencial elástica no instante considerado + energia cinética nesse instante.
Passo 3
Cálculo da compressão máxima
.
No ponto de compressão máxima o bloco pára momentaneamente, então a velocidade é zero e toda a energia cinética inicial virou energia potencial da mola. Escrevemos:
No ponto de compressão máxima o bloco pára momentaneamente, então a velocidade é zero e toda a energia cinética inicial virou energia potencial da mola. Escrevemos:
Explicando: o lado esquerdo é a energia cinética inicial do bloco; o lado direito é a energia potencial elástica máxima na mola quando a compressão é
.
Passo 4
Isolamos
na equação anterior. Primeiro simplificamos os fatores
:
Agora resolvemos para
:
Finalmente, a raiz positiva dá a compressão máxima (a compressão é um valor não-negativo):
Passo 5
Substituímos os valores numéricos. Vou calcular passo a passo para você conseguir repetir na prova sem calculadora complexa:
Portanto
Interpretação: a mola atinge compressão máxima de
.
Passo 6
Agora parte (b): velocidade do bloco quando a compressão é
.
Usamos novamente conservação de energia entre o instante inicial (velocidade , mola sem compressão) e o instante em que a mola está comprimida de
e o bloco tem velocidade
:
Usamos novamente conservação de energia entre o instante inicial (velocidade
Simplificamos fator
:
Isolamos
:
Passo 7
Substituímos
. Sabemos de antes que
, então
Calculamos
:
Agora o termo
é
Portanto
Passo 8
Finalmente, a velocidade é a raiz positiva de
:
Interpretação rápida: ao comprimir a mola pela metade da compressão máxima, parte da energia já virou energia elástica, mas ainda sobra energia cinética, então o bloco ainda tem velocidade significativa.
Resposta
(a)
(b)
(b)