Um bloco de massa igual a 2,0 \mathrm{~kg}, movendo-se inicialmente à velocidade v_{0}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, é freado por uma mola cuja constante elástica vale 800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Calcule (a) a compressão máxima x_{m} da mola; (b) a velocidade do bloco quando a compressão da mola é x_{m} / 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A compressão máxima \,x_{m}\, da mola quando o bloco pára momentaneamente.
  2. (b) A velocidade do bloco quando a compressão da mola é \,x_{m}/2.
Dados fornecidos:
m = 2{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad v_0 = 4{,}0\\ \mathrm{m/s},\qquad k = 800\\ \mathrm{N/m}.
Observação: o enunciado não menciona forças dissipativas (atrito, resistência), portanto assumimos que a energia mecânica é conservada durante o processo (energia cinética se transforma em energia potencial elástica).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados com calma):
  • Energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v:
E_\text{c} = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa (em kg) e v é a velocidade (em m/s). Essa fórmula dá a energia associada ao movimento.
  • Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida (ou esticada) de constante elástica k e deformação x:
E_\text{el} = \tfrac{1}{2} k x^2,
onde k é a constante da mola (N/m) e x é a compressão/elongação (m). Essa fórmula vem da integração da força elástica F=-kx.
  • Conservação da energia mecânica (quando não há perda por atrito):
E_\text{c,\;inicial} = E_\text{el}(x) + E_\text{c}(x),
ou seja, energia cinética inicial = energia potencial elástica no instante considerado + energia cinética nesse instante.

Passo 3

Cálculo da compressão máxima \,x_{m}\,.
No ponto de compressão máxima o bloco pára momentaneamente, então a velocidade é zero e toda a energia cinética inicial virou energia potencial da mola. Escrevemos:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = \tfrac{1}{2} k x_m^2.
Explicando: o lado esquerdo é a energia cinética inicial do bloco; o lado direito é a energia potencial elástica máxima na mola quando a compressão é x_m.

Passo 4

Isolamos x_m na equação anterior. Primeiro simplificamos os fatores \tfrac{1}{2}:
m v_0^2 = k x_m^2.
Agora resolvemos para x_m^2:
x_m^2 = \frac{m v_0^2}{k}.
Finalmente, a raiz positiva dá a compressão máxima (a compressão é um valor não-negativo):
x_m = \sqrt{\frac{m v_0^2}{k}}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos. Vou calcular passo a passo para você conseguir repetir na prova sem calculadora complexa:
m v_0^2 = 2{,}0 \times (4{,}0)^2 = 2{,}0 \times 16 = 32.
\frac{m v_0^2}{k} = \frac{32}{800} = 0{,}04.
Portanto
x_m = \sqrt{0{,}04} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a mola atinge compressão máxima de 0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora parte (b): velocidade do bloco quando a compressão é \,x = x_m/2.
Usamos novamente conservação de energia entre o instante inicial (velocidade v_0, mola sem compressão) e o instante em que a mola está comprimida de x e o bloco tem velocidade v:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = \tfrac{1}{2} k x^2 + \tfrac{1}{2} m v^2.
Simplificamos fator \tfrac{1}{2}:
m v_0^2 = k x^2 + m v^2.
Isolamos v^2:
m v^2 = m v_0^2 - k x^2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = v_0^2 - \frac{k}{m} x^2.

Passo 7

Substituímos x = x_m/2. Sabemos de antes que x_m = 0{,}20\\ \mathrm{m}, então
x = \frac{x_m}{2} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Calculamos \dfrac{k}{m} x^2:
\frac{k}{m} = \frac{800}{2{,}0} = 400\\ \mathrm{s}^{-2},
\frac{k}{m} x^2 = 400 \times (0{,}10)^2 = 400 \times 0{,}01 = 4.
Agora o termo v_0^2 é
v_0^2 = (4{,}0)^2 = 16.
Portanto
v^2 = 16 - 4 = 12.

Passo 8

Finalmente, a velocidade é a raiz positiva de v^2:
v = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}46\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: ao comprimir a mola pela metade da compressão máxima, parte da energia já virou energia elástica, mas ainda sobra energia cinética, então o bloco ainda tem velocidade significativa.

Resposta

(a) x_{m} = 0{,}20\\ \mathrm{m}
(b) v = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}46\\ \mathrm{m/s}

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