Um fio cilíndrico longo e retilíneo, de raio R, transporta uma densidade de corrente dada por \mathrm{j}=J_{0} \mathrm{r}. Em qual local o campo magnético produzido por esta corrente é igual à metade do seu valor máximo ? Considere pontos no interior e exterior do fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico, longo e retilíneo, de raio R, com densidade de corrente dependente do raio: \mathrm{j}=J_{0}\,r. Pede-se: encontrar os pontos (valores de r) onde o campo magnético B produzido por essa corrente é igual à metade do seu valor máximo. Devemos considerar pontos no interior do fio ( r<R) e no exterior do fio ( r>R). As informações relevantes são:
  • raio do fio: R;
  • densidade de corrente (magnitude) em função do raio: \mathrm{j}(r)=J_{0}\,r;
  • o fio é longo e retilíneo (simetria cilíndrica);
  • queremos os valores de r tais que B(r)=\tfrac{1}{2}B_{\text{máx}}á, separando os casos interior e exterior.

Passo 2

Vamos usar a simetria cilíndrica e a Lei de Ampère. Explico o que é isso e por que vale a pena aqui:
  • Para um fio longo e retilíneo com distribuição radial de corrente, o campo magnético tem apenas componente azimutal (tangencial às circunferências concêntricas) e depende só de r (distância ao eixo). Isso vem da simetria: girar o sistema em torno do eixo não muda nada.
  • A Lei de Ampère, em magnetostática, diz que a circulação do campo magnético ao longo de uma curva fechada é igual a \mu_0 vezes a corrente total atravessada pela superfície limitada por essa curva:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • Para aproveitar a simetria escolhemos uma curva usada chamada laço amperiano: uma circunferência de raio r centrada no eixo. Nessa circunferência \mathbf{B} é tangencial e constante em módulo, então
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(r)\cdot(2\pi r).
  • Aqui I_{\text{enc}} é a corrente total contida em todo o disco de raio r (para r<R é corrente parcial; para r>R é a corrente total do fio).

Passo 3

Calcular a corrente encoberta I_{\text{enc}}(r) para r<R.
  • A densidade de corrente é \mathrm{j}(r')=J_{0}\,r' (vou usar r' como variável de integração porque r é o limite).
  • Um anel entre r' e r'+dr' tem área dA=2\pi r'\,dr'. A corrente nesse anel é
dI = \mathrm{j}(r')\,dA = J_{0}\,r'\cdot(2\pi r'\,dr') = 2\pi J_{0}\,r'^2\,dr'.
  • Integrando de 0 até r obtemos
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}2\pi J_{0}\,r'^2\,dr' = 2\pi J_{0}\left[\frac{r'^3}{3}\right]_{0}^{r}=\frac{2\pi J_{0}\,r^3}{3}.

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère para obter B(r) no interior ( r<R).
  • Usando \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{enc}}(r), substituímos I_{\text{enc}}(r):
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_{0}\cdot\frac{2\pi J_{0}\,r^3}{3}.
  • Cancelando 2\pi e isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_{0} J_{0}\,r^2}{3}\qquad\text{para }r<R.
  • Observação didática: isso mostra que, dentro do fio, o campo cresce como r^2. Cada passo foi só usar a definição de corrente em um anel e a Lei de Ampère.

Passo 5

Campo magnético no exterior ( r>R) e corrente total.
  • A corrente total que passa pelo fio (pegar do resultado em r=R) é
I_{\text{tot}}=I_{\text{enc}}(R)=\frac{2\pi J_{0}\,R^3}{3}.
  • Para r>R a corrente encerrada pelo laço de raio r é justamente I_{\text{tot}}. Aplicando Ampère:
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{tot}}=\mu_{0}\cdot\frac{2\pi J_{0}\,R^3}{3}.
  • Cancelando 2\pi e isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_{0} J_{0}\,R^3}{3\,r}\qquad\text{para }r>R.
  • Observação: fora do fio o campo decai como 1/r, como é típico de fios longos.

Passo 6

Determinar o valor máximo de B.
  • Pelo comportamento: dentro B(r) cresce com r até r=R; fora B(r) decai com r. Logo o máximo ocorre na superfície r=R.
  • Calcular B_{\text{máx}}=B(R)á usando qualquer das fórmulas (elas coincidem em r=R):
B_{\text{máx}}= \frac{\mu_{0} J_{0}\,R^2}{3}.á

Passo 7

Encontrar r no interior onde B(r)=\tfrac{1}{2}B_{\text{máx}}á.
  • Igualamos a expressão interior à metade do máximo:
\frac{\mu_{0} J_{0}\,r^2}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mu_{0} J_{0}\,R^2}{3}.
  • Cancelando o fator comum \mu_{0}J_{0}/3:
r^2=\frac{1}{2}R^2.
  • Logo, tomando raiz positiva (distância radial):
r=\frac{R}{\sqrt{2}}\qquad\text{(interior)}.

Passo 8

Encontrar r no exterior onde B(r)=\tfrac{1}{2}B_{\text{máx}}á.
  • Igualamos a expressão exterior à metade do máximo:
\frac{\mu_{0} J_{0}\,R^3}{3\,r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mu_{0} J_{0}\,R^2}{3}.
  • Cancelando \mu_{0}J_{0}/3 e simplificando:
\frac{R^3}{r}=\frac{1}{2}R^2 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{R^3}{(R^2/2)}=2R.
  • Portanto:
r=2R\qquad\text{(exterior)}.

Resposta

r=\dfrac{R}{\sqrt{2}} (no interior, r<R)
r=2R (no exterior, r>R)

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