Um fio cilíndrico longo e retilíneo, de raio
, transporta uma densidade de corrente dada por
. Em qual local o campo magnético produzido por esta corrente é igual à metade do seu valor máximo ? Considere pontos no interior e exterior do fio.
Passo 1
O enunciado dá um fio cilíndrico, longo e retilíneo, de raio
, com densidade de corrente dependente do raio:
. Pede-se: encontrar os pontos (valores de
) onde o campo magnético
produzido por essa corrente é igual à metade do seu valor máximo. Devemos considerar pontos no interior do fio (
) e no exterior do fio (
). As informações relevantes são:
- raio do fio:
; - densidade de corrente (magnitude) em função do raio:
; - o fio é longo e retilíneo (simetria cilíndrica);
- queremos os valores de
tais que , separando os casos interior e exterior.
Passo 2
Vamos usar a simetria cilíndrica e a Lei de Ampère. Explico o que é isso e por que vale a pena aqui:
- Para um fio longo e retilíneo com distribuição radial de corrente, o campo magnético tem apenas componente azimutal (tangencial às circunferências concêntricas) e depende só de
(distância ao eixo). Isso vem da simetria: girar o sistema em torno do eixo não muda nada. - A Lei de Ampère, em magnetostática, diz que a circulação do campo magnético ao longo de uma curva fechada é igual a
vezes a corrente total atravessada pela superfície limitada por essa curva:
- Para aproveitar a simetria escolhemos uma curva usada chamada laço amperiano: uma circunferência de raio
centrada no eixo. Nessa circunferência é tangencial e constante em módulo, então
- Aqui
é a corrente total contida em todo o disco de raio (para é corrente parcial; para é a corrente total do fio).
Passo 3
Calcular a corrente encoberta
para
.
- A densidade de corrente é
(vou usar como variável de integração porque é o limite). - Um anel entre
e tem área . A corrente nesse anel é
- Integrando de
até obtemos
Passo 4
Aplicar a Lei de Ampère para obter
no interior (
).
- Usando
, substituímos :
- Cancelando
e isolando :
- Observação didática: isso mostra que, dentro do fio, o campo cresce como
. Cada passo foi só usar a definição de corrente em um anel e a Lei de Ampère.
Passo 5
Campo magnético no exterior (
) e corrente total.
- A corrente total que passa pelo fio (pegar do resultado em
) é
- Para
a corrente encerrada pelo laço de raio é justamente . Aplicando Ampère:
- Cancelando
e isolando :
- Observação: fora do fio o campo decai como
, como é típico de fios longos.
Passo 6
Determinar o valor máximo de
.
- Pelo comportamento: dentro
cresce com até ; fora decai com . Logo o máximo ocorre na superfície . - Calcular
usando qualquer das fórmulas (elas coincidem em ):
Passo 7
Encontrar
no interior onde
.
- Igualamos a expressão interior à metade do máximo:
- Cancelando o fator comum
:
- Logo, tomando raiz positiva (distância radial):
Passo 8
Encontrar
no exterior onde
.
- Igualamos a expressão exterior à metade do máximo:
- Cancelando
e simplificando:
- Portanto: