Um bloco de massa
, a partir do repouso, desliza sobre uma rampa de inclinação
e de altura
fazendo um deslocamento
. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa vale
. (a) Calcule o trabalho de cada uma das várias forças que atuam sobre o bloco durante o deslizamento. (b) Calcule o trabalho total. (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco. (d) Se o bloco desce a rampa com velocidade constante, calcule o trabalho total.
Passo 1
O enunciado dá: um bloco de massa
, parte do repouso e desliza por uma rampa inclinada de ângulo
com altura vertical
e deslocamento ao longo da rampa
. O coeficiente de atrito cinético é
. Precisamos calcular:
(a) o trabalho de cada força que atua sobre o bloco durante o deslocamento ( do peso, da normal e do atrito);
(b) o trabalho total realizado sobre o bloco;
(c) a variação da energia cinética do bloco;
(d) se o bloco desce com velocidade constante, calcular o trabalho total nessa situação.
(a) o trabalho de cada força que atua sobre o bloco durante o deslocamento (
(b) o trabalho total realizado sobre o bloco;
(c) a variação da energia cinética do bloco;
(d) se o bloco desce com velocidade constante, calcular o trabalho total nessa situação.
Informações relevantes dadas:
. O bloco parte do repouso. Assume-se aceleração da gravidade
. A rampa é rígida e a superfície é plana ao longo do comprimento
.
Passo 2
Quais forças atuam no bloco enquanto ele desliza pela rampa?
- Peso: força vertical para baixo com módulo
. - Força normal: perpendicular à superfície da rampa; módulo
. - Força de atrito cinético: tangencial à superfície, contrária ao movimento, com módulo
.
Vou usar um diagrama mental: deslocamento
ao longo da rampa, para baixo; ângulo entre rampa e horizontal é
. Não desenho aqui, mas isso basta para calcular componentes.
Passo 3
Relembrando definição útil de trabalho para forças constantes ao longo de um deslocamento reto:
onde
é o ângulo entre a força
e o deslocamento
. Para forças perpendiculares a
,
. Para forças contrárias ao deslocamento,
é negativo. Também usarei a relação geométrica entre
,
e
:
Passo 4
Trabalho da força peso
.
A componente do peso ao longo da rampa (direção do deslocamento) tem módulo apontando para baixo ao longo da rampa. Assim, usando
(a força e o deslocamento estão na mesma direção),
A componente do peso ao longo da rampa (direção do deslocamento) tem módulo
Usando
podemos escrever também
Comentário didático: o peso faz trabalho positivo porque a força tem componente na mesma direção do deslocamento (o bloco desce).
Passo 5
Trabalho da força normal
.
A força normal é perpendicular ao plano da rampa, enquanto o deslocamento é tangencial ao plano. Como são perpendiculares, o produto escalar é zero:
A força normal é perpendicular ao plano da rampa, enquanto o deslocamento
Explicação curta: força perpendicular não muda a energia na direção do deslocamento ao longo da superfície.
Passo 6
Trabalho da força de atrito cinético
.
Primeiro o módulo da força de atrito cinético é
Primeiro o módulo da força de atrito cinético é
A normal, para um bloco em contato com rampa sem aceleração perpendicular, vale
. Portanto
O atrito aponta contra o movimento, ou seja, tem ângulo
com o deslocamento, então o trabalho é negativo em módulo
:
Se preferir em termos de
: lembrando
, não há simplificação direta para eliminar
sem manter
; portanto é comum deixar
em função de
.
Passo 7
Trabalho total
.
Somando os trabalhos das forças (peso + normal + atrito):
Somando os trabalhos das forças (peso + normal + atrito):
Portanto
Passo 8
Variação da energia cinética
(Teorema Trabalho-Energia).
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
Como o bloco parte do repouso,
. Assim
Se desejar achar a velocidade final
, pode-se usar
logo
desde que o conteúdo dentro da raiz seja não negativo.
Passo 9
Caso especial (d): bloco desce com velocidade constante.
Velocidade constante implica . Pelo teorema trabalho-energia, isso significa
Velocidade constante implica
Usando a expressão do passo 7, para um deslocamento
Substituindo
obtemos
ou seja
Mas a resposta direta pedida para (d) é que o trabalho total é zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)