Um bloco de massa m, a partir do repouso, desliza sobre uma rampa de inclinação \theta e de altura h fazendo um deslocamento d. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa vale \mu_{c}. (a) Calcule o trabalho de cada uma das várias forças que atuam sobre o bloco durante o deslizamento. (b) Calcule o trabalho total. (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco. (d) Se o bloco desce a rampa com velocidade constante, calcule o trabalho total.

Passo 1

O enunciado dá: um bloco de massa \,m, parte do repouso e desliza por uma rampa inclinada de ângulo \theta com altura vertical \,h e deslocamento ao longo da rampa \,d. O coeficiente de atrito cinético é \mu_{c}. Precisamos calcular:
(a) o trabalho de cada força que atua sobre o bloco durante o deslocamento ( W do peso, da normal e do atrito);
(b) o trabalho total realizado sobre o bloco;
(c) a variação da energia cinética do bloco;
(d) se o bloco desce com velocidade constante, calcular o trabalho total nessa situação.
Informações relevantes dadas:
\,m,\;\theta,\;h,\;d,\;\mu_{c}. O bloco parte do repouso. Assume-se aceleração da gravidade \,g. A rampa é rígida e a superfície é plana ao longo do comprimento d.

Passo 2

Quais forças atuam no bloco enquanto ele desliza pela rampa?
  • Peso: força vertical para baixo com módulo \,mg.
  • Força normal: perpendicular à superfície da rampa; módulo \,N.
  • Força de atrito cinético: tangencial à superfície, contrária ao movimento, com módulo \,f_k.
Vou usar um diagrama mental: deslocamento \vec d ao longo da rampa, para baixo; ângulo entre rampa e horizontal é \theta. Não desenho aqui, mas isso basta para calcular componentes.

Passo 3

Relembrando definição útil de trabalho para forças constantes ao longo de um deslocamento reto:
W=\vec F\cdot\vec d = F\,d\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre a força \vec F e o deslocamento \vec d. Para forças perpendiculares a \vec d, W=0. Para forças contrárias ao deslocamento, W é negativo. Também usarei a relação geométrica entre h, d e \theta:
h = d\sin\theta.

Passo 4

Trabalho da força peso \,W_{\text{peso}}.
A componente do peso ao longo da rampa (direção do deslocamento) tem módulo \,mg\sin\theta apontando para baixo ao longo da rampa. Assim, usando W=F_{\parallel}\,d (a força e o deslocamento estão na mesma direção),
W_{\text{peso}} = (mg\sin\theta)\,d.
Usando h=d\sin\theta podemos escrever também
W_{\text{peso}} = mg h.
Comentário didático: o peso faz trabalho positivo porque a força tem componente na mesma direção do deslocamento (o bloco desce).

Passo 5

Trabalho da força normal \,W_{\text{normal}}.
A força normal é perpendicular ao plano da rampa, enquanto o deslocamento \vec d é tangencial ao plano. Como são perpendiculares, o produto escalar é zero:
W_{\text{normal}} = 0.
Explicação curta: força perpendicular não muda a energia na direção do deslocamento ao longo da superfície.

Passo 6

Trabalho da força de atrito cinético \,W_{\text{atrito}}.
Primeiro o módulo da força de atrito cinético é
f_k = \mu_{c} N.
A normal, para um bloco em contato com rampa sem aceleração perpendicular, vale N = mg\cos\theta. Portanto
f_k = \mu_{c} m g \cos\theta.
O atrito aponta contra o movimento, ou seja, tem ângulo \varphi=180^\circ com o deslocamento, então o trabalho é negativo em módulo f_k d:
W_{\text{atrito}} = -f_k\,d = -\mu_{c} m g \cos\theta \; d.
Se preferir em termos de h: lembrando h=d\sin\theta, não há simplificação direta para eliminar d sem manter \theta; portanto é comum deixar W_{\text{atrito}} em função de d.

Passo 7

Trabalho total W_{\text{total}}.
Somando os trabalhos das forças (peso + normal + atrito):
W_{\text{total}} = W_{\text{peso}} + W_{\text{normal}} + W_{\text{atrito}} = mg h + 0 - \mu_{c} m g \cos\theta \; d.
Portanto
W_{\text{total}} = mg h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d.

Passo 8

Variação da energia cinética \Delta K (Teorema Trabalho-Energia).
O teorema trabalho-energia diz que o trabalho total sobre o corpo é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{total}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.
Como o bloco parte do repouso, K_{\text{inicial}}=0. Assim
\Delta K = K_{\text{final}} = W_{\text{total}} = mg h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d.
Se desejar achar a velocidade final v, pode-se usar
\frac{1}{2} m v^{2} = mg h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d,
logo
v = \sqrt{2g\bigl(h - \mu_{c}\cos\theta\; d\bigr)},
desde que o conteúdo dentro da raiz seja não negativo.

Passo 9

Caso especial (d): bloco desce com velocidade constante.
Velocidade constante implica \Delta K = 0. Pelo teorema trabalho-energia, isso significa
W_{\text{total}} = 0.
Usando a expressão do passo 7, para um deslocamento d>0
mg h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d = 0.
Substituindo h=d\sin\theta obtemos
mg d(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin\theta - \mu_{c}\cos\theta=0,
ou seja
\mu_{c} = \tan\theta.
Mas a resposta direta pedida para (d) é que o trabalho total é zero.

Resposta

(a) W_{\text{peso}}=m g h,\quad W_{\text{normal}}=0,\quad W_{\text{atrito}}=-\mu_{c} m g \cos\theta \; d.
(b) W_{\text{total}}=m g h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d.
(c) \Delta K = m g h - \mu_{c} m g \cos\theta \; d.
(d) W_{\text{total}}=0.

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