1 Um próton tem massa igual a 1,67 \times 10^{-27} \mathrm{Kg}. carga de 1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C} e se move em um círculo de raio igual a 21,0 \mathrm{~cm} perpendicular a um campo magnético de 0,400 \mathrm{~T}. Determine: (a) a velocidade do próton e (b) o período do movimento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Massa do próton: m = 1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Carga do próton: q = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Raio da trajetória circular: r = 21,0\\ \mathrm{cm} = 0,210\\ \mathrm{m}.
  • Campo magnético uniforme, perpendicular à velocidade: B = 0,400\\ \mathrm{T}.
Perguntas:
(a) Determinar a velocidade do próton.
(b) Determinar o período do movimento (tempo para completar uma volta).

Passo 2

Entendendo a física: quando uma carga q se move com velocidade v perpendicular a um campo magnético B, a força magnética sobre ela tem módulo
F_{B} = q\,v\,B.
Essa força é sempre perpendicular à velocidade, portanto não faz trabalho, e pode fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular, que tem módulo
F_{c} = \frac{m\,v^{2}}{r},
onde m é a massa do próton, v a velocidade e r o raio da curva. Aqui a força magnética é a responsável por manter a partícula em círculo, então igualamos as magnitudes:
q\,v\,B = \frac{m\,v^{2}}{r}.
Explicando cada variável: q (carga, em coulomb), v (velocidade, em m/s), B (campo magnético, em tesla), m (massa, em kg), r (raio, em m).

Passo 3

Resolver a equação para v. Começando de
q\,v\,B = \frac{m\,v^{2}}{r},
dividimos ambos os lados por v (assumindo v\neq0):
q\,B = \frac{m\,v}{r}.
Agora isolamos v:
v = \frac{q\,B\,r}{m}.
Essa é a fórmula que nos dá a velocidade de uma partícula carregada em movimento circular sob campo magnético perpendicular.

Passo 4

Calcular numericamente v. Primeiro calculamos o numerador passo a passo:
q\,B = (1,602\times10^{-19})(0,400)=6,408\times10^{-20}.
Multiplicando por r:
q\,B\,r = (6,408\times10^{-20})(0,210)=1,34568\times10^{-20}.
Agora dividimos por m:
v=\frac{1,34568\times10^{-20}}{1,67\times10^{-27}}=8,0578\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (dados fornecidos têm cerca de 3 casas significativas):
v \approx 8,06\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida e motivadora: essa velocidade é bem menor que a velocidade da luz ( c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), então o tratamento não relativístico está ok.

Passo 5

Agora o período T (tempo de uma volta). Definição básica: período é a razão entre o comprimento da circunferência e a velocidade tangencial,
T=\frac{2\pi r}{v}.
Se substituirmos v pela expressão da etapa anterior v=\dfrac{qBr}{m}, vemos uma simplificação interessante:
T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi r}{\dfrac{qBr}{m}}=\frac{2\pi m}{qB}.
Perceba que r cancela: o período não depende do raio quando a força centrípeta vem do campo magnético — depende apenas de m, q e B. Essa é uma propriedade muito útil e aparece em muitas provas.

Passo 6

Calcular numericamente T usando
T=\frac{2\pi m}{qB}.
Calculemos os termos:
2\pi m = 2\pi(1,67\times10^{-27})=1,04937\times10^{-26}.
E
qB=(1,602\times10^{-19})(0,400)=6,408\times10^{-20}.
Dividindo:
T=\frac{1,04937\times10^{-26}}{6,408\times10^{-20}}=1,6379\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
Arredondando de acordo com as cifras significativas:
T \approx 1,64\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

Resposta

v \approx 8,06\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}
T \approx 1,64\times10^{-7}\\ \mathrm{s}

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