Um bloco de massa M=5,4 kg, em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante k=600 N / m, figura 08 . Uma bala de massa m =9,5 g e velocidade de módulo v=630 m / s atinge o bloco e fica retido nele. Supondo que a compressão da mola é desprezível até a bala se alojar no bloco, determine (b) a amplitude do MHS resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco de massa M = 5,4, kg preso a uma mola com constante k = 600, N/m. Uma bala de massa m = 9,5, g (que vamos converter para kg) está se movendo com velocidade v = 630, m/s e atinge o bloco, ficando preso nele. Queremos descobrir qual é a amplitude do movimento harmônico simples (MHS) que acontece depois que a bala fica presa no bloco. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia elástica da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa da bala de gramas para quilogramas, já que o Sistema Internacional usa kg:
m = 9,5, g = 0,0095, kg

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação do momento linear para encontrar a velocidade do bloco e da bala juntos logo após a colisão. A fórmula é:
M cdot V + m cdot v = (M + m) cdot V'
Como o bloco está inicialmente em repouso, V = 0. Então, simplificando:
m cdot v = (M + m) cdot V'
Resolvendo para V':
V' = m cdot vM + m

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
V' = 0,0095, kg times 630, m/s5,4, kg + 0,0095, kg approx 5,9855,4095 approx 1,104, m/s

Passo 5

Agora que temos a velocidade imediatamente após a colisão, vamos usar a conservação de energia para relacionar essa velocidade com a compressão máxima da mola (que será a amplitude do MHS). A energia cinética inicial será totalmente convertida em energia potencial elástica na mola no ponto de máxima compressão:
12 (M + m) V'^2 = 12 k A^2
Onde A é a amplitude que queremos encontrar.

Passo 6

Podemos simplificar a equação retirando o 12 dos dois lados:
(M + m) V'^2 = k A^2
Resolvendo para A:
A = raiz(M + m) V'^2k

Passo 7

Substituindo os valores que já temos:
A = raiz(5,4, kg + 0,0095, kg) times (1,104, m/s)^2600, N/m
Calculando dentro da raiz:
A = raiz5,4095, kg times 1,2192, m^2/s^2600, N/m = raiz6,583, J600, N/m = raiz0,010972, m^2 approx 0,1047, m

Resposta

A amplitude do MHS resultante é aproximadamente 0,105, metros.

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