Uma partícula está sujeita a uma força
que lhe confere um potencial
, onde
e
. (A) Determine a força F(x). (B) Encontre os pontos de equilíbrio e analise para cada um se o equilíbrio é estável ou instável. © Supondo que a partícula tenha uma energia mecânica total igual a
, analise a região em que pode ser encontrada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está sujeita a uma força definida por um potencial $ U(x) = a x^{4} - b x^{3} + c x^{2} $, onde os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ são dados. Nosso objetivo é:
A) Determinar a força $ F(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar saber que a força está relacionada ao potencial através da derivada negativa do potencial em relação à posição $ x $. Ou seja, $ F(x) = -\frac{dU}{dx} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação entre a força e o potencial. A força $ F(x) $ que atua sobre a partícula pode ser encontrada derivando o potencial $ U(x) $ em relação a $ x $ e mudando o sinal:
Isso significa que precisamos calcular a derivada de $ U(x) $ para encontrar $ F(x) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ U(x) $. Dado:
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
Agora, aplicamos a relação para encontrar a força:
Passo 4
Agora, vamos para a parte B do exercício: encontrar os pontos de equilíbrio e analisar se cada equilíbrio é estável ou instável.
Pontos de equilíbrio ocorrem onde a força $ F(x) $ é igual a zero:
Usando a expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de $ x $ onde $ F(x) = 0 $:
Podemos fatorar $ x $:
Isso nos dá uma solução imediata:
E uma equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática para $ x $:
Substituindo os valores de $ a = 24 , J/m^{4} $, $ b = 32 , J/m^{3} $ e $ c = 9 , J/m^{2} $:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 6 para simplificar:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = -16 $, $ b = 16 $, e $ c = -3 $:
Calculando discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Passo 8
Então, os pontos de equilíbrio são:
Agora, precisamos analisar a estabilidade de cada ponto. Para isso, vamos usar a segunda derivada do potencial $ U(x) $, que nos diz se é um mínimo (estável) ou máximo (instável).
A condição é:
- Se $ \frac{d{2}U}{dx{2}} > 0 $, o equilíbrio é estável.
- Se $ \frac{d{2}U}{dx{2}} < 0 $, o equilíbrio é instável.
Passo 9
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ U(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, avaliamos $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $ em cada ponto de equilíbrio.
Passo 10
Vamos calcular $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $ para cada $ x $:
- Para $ x = 0 , m $:
Como é positivo, o equilíbrio em $ x = 0 $ é estável.
- Para $ x = 0,25 , m $:
Como é negativo, o equilíbrio em $ x = 0,25 $ é instável.
- Para $ x = 0,75 , m $:
Como é positivo, o equilíbrio em $ x = 0,75 $ é estável.
Passo 11
Finalmente, vamos para a parte C: analisar a região em que a partícula pode ser encontrada, sabendo que sua energia mecânica total é $ -0,5 , J $.
A energia mecânica total $ E $ é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U(x) $:
Como a energia cinética $ K $ é sempre positiva ou zero, para a partícula ter energia mecânica $ E = -0,5 , J $, deve ocorrer que $ U(x) \leq -0,5 , J $.
Portanto, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ U(x) \leq -0,5 $.
Passo 12
Vamos expressar $ U(x) $ com os valores dados:
Rearranjando:
Para resolver essa inequação, podemos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem $ U(x) = -0,5 $ e analisar as regiões onde $ U(x) $ está abaixo ou igual a esse valor.
Passo 13
Vamos resolver a equação:
Esta é uma equação polinomial de quarto grau que pode ser complexa para resolver analiticamente. Em situações práticas, geralmente usamos métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções.
Para simplificar, podemos analisar graficamente ou usar aproximações para determinar onde $ U(x) \leq -0,5 $.
Passo 14
Observando a forma do potencial $ U(x) = 24 x^{4} - 32 x^{3} + 9 x^{2} $, sabemos que para grandes valores de $ x $, o termo $ x^{4} $ domina, fazendo $ U(x) $ tende a $ +\infty $. Já perto dos pontos de equilíbrio, especialmente nos pontos estáveis, $ U(x) $ tem mínimos locais.
Como a energia é $ -0,5 , J $, que é menor que os valores de $ U(x) $ nos pontos estáveis ($ U(0) = 0 $, $ U(0,75) = -0,5 $), a partícula estará confinada em torno de $ x = 0,75 , m $.
Resposta
A partícula pode ser encontrada na região próxima a $ x = 0,75 , m $, onde o potencial $ U(x) $ é menor ou igual a $ -0,5 , J $.