(A) Calcule o trabalho realizado pela força, descrita pela função F(x)=a x^2+b x^4, sobre uma partícula enquanto esta se desloca entre os pontos x1, e x2. (B) Se a=3,0 N / m^2 e b=5,0 N / m^4, obtenha também o valor numérico do trabalho para os casos em que x1=2,0 m, x2=3,0 m e x1=1,0 m, x2=2,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Física sobre trabalho realizado por uma força. A questão tem duas partes:
(A) Precisamos calcular o trabalho que uma força $ F(x) = a x^{2} + b x^{4} $ realiza quando uma partícula se move de $ x_{1} $ até $ x_{2} $.
(B) Com os valores dados para $ a $ e $ b $, vamos calcular numericamente esse trabalho para dois intervalos diferentes de $ x $.
Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo do trabalho no contexto de força variável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho em Física. O trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto de um ponto a outro é dado pela integral da força ao longo do deslocamento:
W
Como a força aqui depende da posição $ x $, precisamos calcular essa integral para encontrar o trabalho total.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à força dada $ F(x) = a x^{2} + b x^{4} $. Substituindo na expressão do trabalho:
F(x) = a x^2 + b x^4

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de uma soma é a soma das integrais, então:
W = a integralx1^x2 x^2 , dx + b integralx1^x2 x^4 , dx

Passo 5

Integrando cada termo separadamente:
integral x^2 , dx = x^33
integral x^4 , dx = x^55

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
W = a ( x^33 |x1^x2 ) + b ( x^55 |x1^x2 )
Isso significa que calculamos a diferença das funções nos limites $ x_{2} $ e $ x_{1} $.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
W = a ( x2^3 - x1^33 ) + b ( x2^5 - x1^55 )
Essa é a expressão geral para o trabalho realizado pela força dada entre $ x_{1} $ e $ x_{2} $.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (B), onde temos valores específicos para $ a $ e $ b $:
a
b
Vamos calcular o trabalho para dois intervalos de $ x $:
  1. $ x_{1} = 2,0 , m $, $ x_{2} = 3,0 , m $
  2. $ x_{1} = 1,0 , m $, $ x_{2} = 2,0 , m $

Passo 9

Primeiro, para $ x_{1} = 2,0 , m $ e $ x_{2} = 3,0 , m $:
x1 = 2,0 , m
Calculando as potências:
x2 = 3,0 , m
W = 3,0 ( 3^3 - 2^33 ) + 5,0 ( 3^5 - 2^55 )
Substituindo:
3^3 = 27, 2^3 = 8
Simplificando:
3^5 = 243, 2^5 = 32
W = 3,0 ( 27 - 83 ) + 5,0 ( 243 - 325 )

Passo 10

Segundo, para $ x_{1} = 1,0 , m $ e $ x_{2} = 2,0 , m $:
x1 = 1,0 , m
Calculando as potências:
x2 = 2,0 , m
W = 3,0 ( 2^3 - 1^33 ) + 5,0 ( 2^5 - 1^55 )
Substituindo:
2^3 = 8, 1^3 = 1
Simplificando:
2^5 = 32, 1^5 = 1
W = 3,0 ( 8 - 13 ) + 5,0 ( 32 - 15 )

Resposta

(A) O trabalho realizado pela força é dado por:
W = a ( x2^3 - x1^33 ) + b ( x2^5 - x1^55 )
(B) Com os valores fornecidos:
  1. Para $ x_{1} = 2,0 , m $ e $ x_{2} = 3,0 , m $:
x1 = 2,0 , m
  1. Para $ x_{1} = 1,0 , m $ e $ x_{2} = 2,0 , m $:
x2 = 3,0 , m

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