(A) Calcule o trabalho realizado pela força, descrita pela função
, sobre uma partícula enquanto esta se desloca entre os pontos
, e
. (B) Se
e
, obtenha também o valor numérico do trabalho para os casos em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Física sobre trabalho realizado por uma força. A questão tem duas partes:
(A) Precisamos calcular o trabalho que uma força $ F(x) = a x^{2} + b x^{4} $ realiza quando uma partícula se move de $ x_{1} $ até $ x_{2} $.
(B) Com os valores dados para $ a $ e $ b $, vamos calcular numericamente esse trabalho para dois intervalos diferentes de $ x $.
Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo do trabalho no contexto de força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho em Física. O trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto de um ponto a outro é dado pela integral da força ao longo do deslocamento:
Como a força aqui depende da posição $ x $, precisamos calcular essa integral para encontrar o trabalho total.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à força dada $ F(x) = a x^{2} + b x^{4} $. Substituindo na expressão do trabalho:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de uma soma é a soma das integrais, então:
Passo 5
Integrando cada termo separadamente:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Isso significa que calculamos a diferença das funções nos limites $ x_{2} $ e $ x_{1} $.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Essa é a expressão geral para o trabalho realizado pela força dada entre $ x_{1} $ e $ x_{2} $.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (B), onde temos valores específicos para $ a $ e $ b $:
Vamos calcular o trabalho para dois intervalos de $ x $:
- $ x_{1} = 2,0 , m $, $ x_{2} = 3,0 , m $
- $ x_{1} = 1,0 , m $, $ x_{2} = 2,0 , m $
Passo 9
Primeiro, para $ x_{1} = 2,0 , m $ e $ x_{2} = 3,0 , m $:
Calculando as potências:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 10
Segundo, para $ x_{1} = 1,0 , m $ e $ x_{2} = 2,0 , m $:
Calculando as potências:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
(A) O trabalho realizado pela força é dado por:
(B) Com os valores fornecidos:
- Para $ x_{1} = 2,0 , m $ e $ x_{2} = 3,0 , m $:
- Para $ x_{1} = 1,0 , m $ e $ x_{2} = 2,0 , m $: