Um bloco de massa M é colocado sobre um plano inclinado de inclinação alpha com a Horizontal e fixo ao solo. Não existe atrito entre o bloco e o plano inclinado. O bloco é colocado em uma posição é H em relação ao solo.
Encontre a relação da velocidade v como função à posição x.

Passo 1

Tranquilo, aqui a ideia é usar conservação de energia para um bloco de massa M escorregando sem atrito num plano inclinado com ângulo alpha.
Enunciado em resumo:
  • Bloco parte do repouso a uma altura inicial H em relação ao solo.
  • Ele escorrega e, quando está a uma certa posição x ao longo do plano, queremos achar sua velocidade v(x).
Conteúdo da matéria: energia potencial gravitacional e energia cinética, e como elas se transformam (conservação da energia mecânica).
O que vamos precisar:
  1. Relação entre a altura do bloco e sua posição x no plano (geometria do triângulo).
  2. Fórmulas de energia potencial U=mgh e energia cinética K=tfrac12mv^2.
  3. Princípio da conservação da energia mecânica (sem atrito): Erm inicial=Erm final.

Passo 2

Primeiro, define como a altura do bloco varia com x. Se x é a distância medida ao longo do plano a partir do ponto mais baixo, a altura acima do solo é
h(x)=xsinalpha
Isso vem de projetar x na vertical (cateto oposto do triângulo formado pelo plano inclinado).

Passo 3

Agora escreve as energias:
  • No instante inicial (repouso em altura H): Ei = Ui + Ki = MgH + 0
    - No instante em que o bloco está na posição x:
    Uf = Mg,h(x)=Mg,l(xsinalphar), Kf = tfrac12 Mv^2(x)

Passo 4

Pela conservação da energia mecânica (não há atrito nem outras perdas), temos
Ei = Ef Longrightarrow MgH = Mg,(xsinalpha) + tfrac12 Mv^2(x)
Isolando v^2(x):
tfrac12 Mv^2(x) = MgH - Mg,xsinalpha
v^2(x) = 2gl(H - xsinalphar)
Portanto,
v(x) = raiz2gl(H - xsinalphar)

Resposta

A velocidade do bloco em função da posição x ao longo do plano é:
boxedv(x) = raiz2gl(H - xsinalphar)

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