Um bloco de massa M é colocado sobre a superfície lisa de um plano inclinado, fixo ao solo, de inclinação \alpha com a horizontal. Não existe atrito entre o bloco e o plano.
(a) Encontre a equação de movimento do sistema.
(b) Encontre a energia potencial do sistema.
(c) Encontre a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo.
(d) O momento linear é conservado? Explique.
(e) O momento angular é conservado? Explique

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa M apoiado sobre um plano inclinado, fixo ao solo, com inclinação \alpha em relação à horizontal. Não há atrito entre bloco e plano. As perguntas são:
(a) encontrar a equação de movimento do sistema;
(b) encontrar a energia potencial do sistema;
(c) encontrar a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo;
(d) o momento linear é conservado? justificar;
(e) o momento angular é conservado? justificar.
Informações relevantes dadas no enunciado que vou usar (sem resolver ainda):
  • massa do bloco: M;
  • inclinação do plano: \alpha;
  • plano fixo ao solo (isto é, o plano não se move);
  • ausência de atrito entre bloco e plano;
  • campo gravitacional com aceleração g apontando vertical para baixo (essa é a força peso aplicada ao bloco).

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e decomposição das forças (passo didático).
  • Vou tomar um eixo x ao longo do plano inclinado, positivo para baixo ao longo da superfície (ou seja, movimento descendente é x positivo). Isso facilita porque o bloco só pode deslizar ao longo do plano.
  • Tomo o eixo y perpendicular ao plano, apontando para fora do plano.
  • As forças externas sobre o bloco são:
    • o peso \vec{P} com módulo Mg, direção vertical para baixo;
    • a força normal \vec{N} exercida pelo plano, perpendicular à superfície.
Decompondo o peso nas direções x e y:
  • componente do peso ao longo do plano (direção x): P_x = Mg\sin\alpha, apontando para baixo ao longo do plano;
  • componente do peso perpendicular ao plano (direção y): P_y = Mg\cos\alpha, apontando para dentro do plano.
A normal \vec{N} equilibra a componente perpendicular de modo que o bloco não acelera fora do plano (porque o plano é rígido e fixo).
Explicação curta e didática: decompor forças é pegar a força vertical e projetá‑la nas direções que escolhemos; a razão trigonométrica vem da geometria do plano inclinado — a componente paralela é Mg\sin\alpha porque forma um triângulo retângulo com ângulo \alpha.

Passo 3

Aplicar a segunda lei de Newton ao longo do eixo x (didática da fórmula).
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças na direção escolhida é igual à massa vezes a aceleração naquela direção:
\sum F_x = M a_x.
As únicas forças com componente em x são a componente do peso Mg\sin\alpha (para baixo ao longo do plano). Não há atrito, então não há força de resistência ao movimento ao longo do plano. Tomando a direção positiva para baixo ao longo do plano:
Mg\sin\alpha = M \ddot{x},
onde \ddot{x} é a aceleração ao longo do eixo x. Simplificando:
\ddot{x} = g\sin\alpha.
Interpretação: a aceleração é constante e igual a g\sin\alpha. Isso faz sentido físico: quanto maior a inclinação, maior a fração do peso que puxa o bloco para baixo; se \alpha=0 (plano horizontal) então \ddot{x}=0; se \alpha=90^\circ (queda livre) então \ddot{x}=g.

Passo 4

Integração para obter v(t) e x(t) dadas condições iniciais (didática de integração de aceleração constante).
Como \ddot{x}=g\sin\alpha é constante, integrando uma vez obtemos a velocidade:
\dot{x}(t)=v(t)=v_0 + g\sin\alpha\; t,
onde v_0 é a velocidade inicial ao longo do plano no instante t=0.
Integrando de novo obtemos a posição ao longo do plano:
x(t)=x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} g\sin\alpha\; t^2,
onde x_0 é a posição inicial ao longo do plano no instante t=0.
Observação didática: escolher as constantes iniciais x_0,v_0 é obrigatório quando o enunciado não especifica condições iniciais — assim as expressões ficam gerais e úteis para a prova.

Passo 5

Energia potencial (didática do que é energia potencial gravitacional e escolha de referência).
A energia potencial gravitacional é definida por U = Mg h, onde h é a altura vertical do bloco em relação a uma referência arbitrária. Preciso expressar h em função da coordenada x ao longo do plano.
Seja h_0 a altura vertical do bloco no instante t=0. Movendo uma distância x para baixo ao longo do plano reduz a altura vertical em x\sin\alpha (pois o seno dá a componente vertical do deslocamento ao longo do plano). Com a convenção de x medido para baixo ao longo do plano, a altura no tempo t é:
h(t)=h_0 - x(t)\sin\alpha.
Portanto a energia potencial como função de x (ou de t) é
U(x)=Mg\bigl(h_0 - x\sin\alpha\bigr).
Comentário sobre a constante: a escolha de h_0 (ou do zero de energia potencial) é arbitrária; o mais importante são diferenças de energia potencial.

Passo 6

Energia cinética e energia mecânica; mostrar conservação (didática sobre energias e trabalho das forças).
A energia cinética é
K(t)=\tfrac{1}{2}M v(t)^2 = \tfrac{1}{2}M\bigl(v_0 + g\sin\alpha\; t\bigr)^2.
A energia mecânica total é a soma:
E(t)=K(t)+U(t)=\tfrac{1}{2}M v(t)^2 + Mg\bigl(h_0 - x(t)\sin\alpha\bigr).
Substituindo v(t) e x(t) (mostrando passo a passo a conservação):
Primeiro escrevo a energia inicial:
E(0)=\tfrac{1}{2}M v_0^2 + Mg h_0.
Agora substituo v(t)=v_0 + g\sin\alpha\,t e x(t)=x_0+v_0 t + \tfrac{1}{2} g\sin\alpha\, t^2 em E(t). Após simplificar (mostro o raciocínio): a parte cinética produz termos \tfrac{1}{2}M v_0^2 + M v_0 g\sin\alpha\, t + \tfrac{1}{2}M g^2\sin^2\alpha\, t^2. A parte potencial contribui com Mg h_0 - Mg\sin\alpha\,(x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} g\sin\alpha\, t^2). Reagrupando os termos em potência de t:
  • termos em t^2: \tfrac{1}{2}M g^2\sin^2\alpha\, t^2 - Mg\sin\alpha\cdot \tfrac{1}{2} g\sin\alpha\, t^2 = 0.
  • termos em t: M v_0 g\sin\alpha\, t - Mg\sin\alpha\cdot v_0 t = 0.
  • termos constantes: \tfrac{1}{2}M v_0^2 + Mg h_0 - Mg\sin\alpha\, x_0.
Assim os termos dependentes de t se cancelam e resta uma constante igual a E(0) - Mg\sin\alpha\, x_0. Se eu escolher x_0=0 como referência da posição inicial, então
E(t)=\tfrac{1}{2}M v_0^2 + Mg h_0 = \text{constante}.
Conclusão didática: como o plano é liso (sem atrito) e a força normal não realiza trabalho (é sempre perpendicular ao deslocamento), a única força que realiza trabalho é a força peso, que é conservativa. Portanto a energia mecânica total do bloco é conservada — permanece constante no tempo. Em outras palavras, à medida que a energia potencial diminui, a energia cinética aumenta exatamente na mesma quantidade.

Passo 7

Expressões finais e gráfico em função do tempo (descrição do gráfico).
Resumo das expressões úteis:
  • aceleração: \ddot{x}=g\sin\alpha;
  • velocidade: v(t)=v_0 + g\sin\alpha\; t;
  • posição: x(t)=x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} g\sin\alpha\; t^2;
  • energia potencial: U(t)=Mg\bigl(h_0 - x(t)\sin\alpha\bigr);
  • energia cinética: K(t)=\tfrac{1}{2}M\bigl(v_0 + g\sin\alpha\; t\bigr)^2;
  • energia mecânica total: E(t)=K(t)+U(t)= constante =\tfrac{1}{2}M v_0^2 + Mg h_0 (assumindo x_0=0 se desejar).
Gráfico como função do tempo:
  • E(t) é uma reta horizontal (constante no tempo).
  • K(t) é uma parábola em t (como \tfrac{1}{2}M(v_0 + a t)^2), cresce com t se o bloco descer.
  • U(t) é uma parábola decrescente em t (pois depende de x(t) quadrático em t), diminuindo de forma que K(t)+U(t) permaneça constante.
    Descrição visual rápida: imagine duas curvas que se cruzam — K(t) subindo (curva convexo para cima) e U(t) descendo (curva convexo para baixo) — cuja soma em qualquer t é sempre o mesmo valor horizontal.

Passo 8

Momento linear: conservação? (explicação passo a passo)
O momento linear do bloco é \vec{p}=M\vec{v}. A conservação do momento linear para um sistema isolado exige que a soma das forças externas seja zero. Aqui, sobre o bloco atuam forças externas: peso \vec{P} e normal \vec{N}. Mesmo projetando ao longo do plano, existe uma componente externa não nula Mg\sin\alpha que causa \ddot{x}\neq 0. Pelo teorema linear do momento:
\frac{d\vec{p}}{dt}=\sum \vec{F}_{\text{ext}}.
Como \sum \vec{F}_{\text{ext}}\neq 0 (tem componente ao longo do plano), \vec{p} varia no tempo. Portanto o momento linear do bloco NÃO é conservado.
Comentário didático: se o sistema fosse bloco+Terra+plano isolado e considerássemos as forças internas entre eles, o momento do conjunto poderia ser conservado (Haveria troca de momento com o plano/Terra). Mas para o bloco isoladamente, há forças externas e logo o momento não é conservado.

Passo 9

Momento angular: conservação? (explicação e observações)
Para testar conservação do momento angular é preciso escolher um ponto de referência e verificar o torque resultante das forças externas em relação a esse ponto. O teorema do momento angular diz:
\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{\tau}_O^{\text{(ext)}},
onde \vec{L}_O é o momento angular em relação ao ponto O e \vec{\tau}_O^{\text{(ext)}} o torque total das forças externas em relação a O.
As forças externas sobre o bloco são peso e normal. Em geral, o torque destas forças em relação a um ponto arbitrário O não é zero:
  • o peso tem linha de ação vertical que, em geral, não passa pelo ponto O, produzindo um torque não nulo;
  • a normal aplicada no ponto de contato também pode produzir torque diferente de zero dependendo da escolha de O.
Portanto, em geral o torque total externo é diferente de zero e o momento angular NÃO é conservado.
Observação sobre casos especiais: existe uma escolha especial de ponto O onde o torque total pode ser zero — por exemplo se O estiver na linha de ação de todas as forças externas (situação pouco comum para este problema) então \vec{\tau}_O^{\text{(ext)}}=0 e \vec{L}_O seria conservado. Mas isso é uma exceção geométrica; para um ponto fixo qualquer (por exemplo um ponto do plano) o torque em geral é não nulo e, portanto, o momento angular não é conservado.

Passo 10

Resumo final e incentivo rápido.
  • Resumindo: o bloco acelera com \ddot{x}=g\sin\alpha, a energia potencial é U=Mg(h_0-x\sin\alpha), a energia mecânica total é constante e as curvas K(t) e U(t) são parábolas que se compensam, o momento linear do bloco não é conservado (há força externa resultante) e o momento angular também não é conservado em geral (há torque externo não nulo).
    Força aí — você já tem todas as fórmulas prontas para a prova; se quiser, eu organizo um esquema de última hora com essas equações e um desenho rápido do gráfico.

Resposta

(a) \ddot{x}=g\sin\alpha (tomando x positivo para baixo ao longo do plano), logo v(t)=v_0+g\sin\alpha\,t e x(t)=x_0+v_0 t+\tfrac{1}{2}g\sin\alpha\,t^2.
(b) U(x)=Mg\bigl(h_0 - x\sin\alpha\bigr), onde h_0 é a altura inicial (referência arbitrária).
(c) K(t)=\tfrac{1}{2}M\bigl(v_0+g\sin\alpha\,t\bigr)^2, U(t)=Mg\bigl(h_0 - x(t)\sin\alpha\bigr), e E(t)=K(t)+U(t)=\tfrac{1}{2}M v_0^2 + Mg h_0 (constante). O gráfico: E(t) é uma reta horizontal; K(t) é parábola crescente; U(t) é parábola decrescente, com K+U constante.
(d) Não. O momento linear do bloco não é conservado, pois existe força externa resultante Mg\sin\alpha ao longo do plano que produz variação de \vec{p}=M\vec{v}.
(e) Em geral, não. O momento angular do bloco não é conservado porque as forças externas (peso e normal) em geral produzem torque diferente de zero em relação a um ponto fixo; somente em casos geométricos especiais (escolha de um ponto cuja linha de ação anule todos os torques) haveria conservação.

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