Um bloco de massa
é colocado sobre a superfície lisa de um plano inclinado, fixo ao solo, de inclinação
com a horizontal. Não existe atrito entre o bloco e o plano.
(a) Encontre a equação de movimento do sistema.
(b) Encontre a energia potencial do sistema.
(c) Encontre a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo.
(d) O momento linear é conservado? Explique.
(e) O momento angular é conservado? Explique
(a) Encontre a equação de movimento do sistema.
(b) Encontre a energia potencial do sistema.
(c) Encontre a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo.
(d) O momento linear é conservado? Explique.
(e) O momento angular é conservado? Explique
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
apoiado sobre um plano inclinado, fixo ao solo, com inclinação
em relação à horizontal. Não há atrito entre bloco e plano. As perguntas são:
(a) encontrar a equação de movimento do sistema;
(b) encontrar a energia potencial do sistema;
(c) encontrar a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo;
(d) o momento linear é conservado? justificar;
(e) o momento angular é conservado? justificar.
(a) encontrar a equação de movimento do sistema;
(b) encontrar a energia potencial do sistema;
(c) encontrar a energia mecânica do sistema e seu gráfico como função do tempo;
(d) o momento linear é conservado? justificar;
(e) o momento angular é conservado? justificar.
Informações relevantes dadas no enunciado que vou usar (sem resolver ainda):
- massa do bloco:
; - inclinação do plano:
; - plano fixo ao solo (isto é, o plano não se move);
- ausência de atrito entre bloco e plano;
- campo gravitacional com aceleração
apontando vertical para baixo (essa é a força peso aplicada ao bloco).
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e decomposição das forças (passo didático).
- Vou tomar um eixo
ao longo do plano inclinado, positivo para baixo ao longo da superfície (ou seja, movimento descendente é positivo). Isso facilita porque o bloco só pode deslizar ao longo do plano. - Tomo o eixo
perpendicular ao plano, apontando para fora do plano. - As forças externas sobre o bloco são:
- o peso
com módulo , direção vertical para baixo; - a força normal
exercida pelo plano, perpendicular à superfície.
- o peso
Decompondo o peso nas direções
e
:
- componente do peso ao longo do plano (direção
): , apontando para baixo ao longo do plano; - componente do peso perpendicular ao plano (direção
): , apontando para dentro do plano.
A normal
equilibra a componente perpendicular de modo que o bloco não acelera fora do plano (porque o plano é rígido e fixo).
Explicação curta e didática: decompor forças é pegar a força vertical e projetá‑la nas direções que escolhemos; a razão trigonométrica vem da geometria do plano inclinado — a componente paralela é
porque forma um triângulo retângulo com ângulo
.
Passo 3
Aplicar a segunda lei de Newton ao longo do eixo
(didática da fórmula).
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças na direção escolhida é igual à massa vezes a aceleração naquela direção:
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças na direção escolhida é igual à massa vezes a aceleração naquela direção:
As únicas forças com componente em
são a componente do peso
(para baixo ao longo do plano). Não há atrito, então não há força de resistência ao movimento ao longo do plano. Tomando a direção positiva para baixo ao longo do plano:
onde
é a aceleração ao longo do eixo
. Simplificando:
Interpretação: a aceleração é constante e igual a
. Isso faz sentido físico: quanto maior a inclinação, maior a fração do peso que puxa o bloco para baixo; se
(plano horizontal) então
; se
(queda livre) então
.
Passo 4
Integração para obter
e
dadas condições iniciais (didática de integração de aceleração constante).
Como é constante, integrando uma vez obtemos a velocidade:
Como
onde
é a velocidade inicial ao longo do plano no instante
.
Integrando de novo obtemos a posição ao longo do plano:
onde
é a posição inicial ao longo do plano no instante
.
Observação didática: escolher as constantes iniciais
é obrigatório quando o enunciado não especifica condições iniciais — assim as expressões ficam gerais e úteis para a prova.
Passo 5
Energia potencial (didática do que é energia potencial gravitacional e escolha de referência).
A energia potencial gravitacional é definida por , onde
é a altura vertical do bloco em relação a uma referência arbitrária. Preciso expressar
em função da coordenada
ao longo do plano.
A energia potencial gravitacional é definida por
Seja
a altura vertical do bloco no instante
. Movendo uma distância
para baixo ao longo do plano reduz a altura vertical em
(pois o seno dá a componente vertical do deslocamento ao longo do plano). Com a convenção de
medido para baixo ao longo do plano, a altura no tempo
é:
Portanto a energia potencial como função de
(ou de
) é
Comentário sobre a constante: a escolha de
(ou do zero de energia potencial) é arbitrária; o mais importante são diferenças de energia potencial.
Passo 6
Energia cinética e energia mecânica; mostrar conservação (didática sobre energias e trabalho das forças).
A energia cinética é
A energia cinética é
A energia mecânica total é a soma:
Substituindo
e
(mostrando passo a passo a conservação):
Primeiro escrevo a energia inicial:
Primeiro escrevo a energia inicial:
Agora substituo
e
em
. Após simplificar (mostro o raciocínio): a parte cinética produz termos
. A parte potencial contribui com
. Reagrupando os termos em potência de
:
- termos em
: . - termos em
: . - termos constantes:
.
Assim os termos dependentes de
se cancelam e resta uma constante igual a
. Se eu escolher
como referência da posição inicial, então
Conclusão didática: como o plano é liso (sem atrito) e a força normal não realiza trabalho (é sempre perpendicular ao deslocamento), a única força que realiza trabalho é a força peso, que é conservativa. Portanto a energia mecânica total do bloco é conservada — permanece constante no tempo. Em outras palavras, à medida que a energia potencial diminui, a energia cinética aumenta exatamente na mesma quantidade.
Passo 7
Expressões finais e gráfico em função do tempo (descrição do gráfico).
Resumo das expressões úteis:
Resumo das expressões úteis:
- aceleração:
; - velocidade:
; - posição:
; - energia potencial:
; - energia cinética:
; - energia mecânica total:
constante (assumindo se desejar).
Gráfico como função do tempo:
-
é uma reta horizontal (constante no tempo). -
é uma parábola em (como ), cresce com se o bloco descer. -
é uma parábola decrescente em (pois depende de quadrático em ), diminuindo de forma que permaneça constante.
Descrição visual rápida: imagine duas curvas que se cruzam —subindo (curva convexo para cima) e descendo (curva convexo para baixo) — cuja soma em qualquer é sempre o mesmo valor horizontal.
Passo 8
Momento linear: conservação? (explicação passo a passo)
O momento linear do bloco é . A conservação do momento linear para um sistema isolado exige que a soma das forças externas seja zero. Aqui, sobre o bloco atuam forças externas: peso
e normal
. Mesmo projetando ao longo do plano, existe uma componente externa não nula
que causa
. Pelo teorema linear do momento:
O momento linear do bloco é
Como
(tem componente ao longo do plano),
varia no tempo. Portanto o momento linear do bloco NÃO é conservado.
Comentário didático: se o sistema fosse bloco+Terra+plano isolado e considerássemos as forças internas entre eles, o momento do conjunto poderia ser conservado (Haveria troca de momento com o plano/Terra). Mas para o bloco isoladamente, há forças externas e logo o momento não é conservado.
Passo 9
Momento angular: conservação? (explicação e observações)
Para testar conservação do momento angular é preciso escolher um ponto de referência e verificar o torque resultante das forças externas em relação a esse ponto. O teorema do momento angular diz:
Para testar conservação do momento angular é preciso escolher um ponto de referência e verificar o torque resultante das forças externas em relação a esse ponto. O teorema do momento angular diz:
onde
é o momento angular em relação ao ponto
e
o torque total das forças externas em relação a
.
As forças externas sobre o bloco são peso e normal. Em geral, o torque destas forças em relação a um ponto arbitrário
não é zero:
- o peso tem linha de ação vertical que, em geral, não passa pelo ponto
, produzindo um torque não nulo; - a normal aplicada no ponto de contato também pode produzir torque diferente de zero dependendo da escolha de
.
Portanto, em geral o torque total externo é diferente de zero e o momento angular NÃO é conservado.
Observação sobre casos especiais: existe uma escolha especial de ponto
onde o torque total pode ser zero — por exemplo se
estiver na linha de ação de todas as forças externas (situação pouco comum para este problema) então
e
seria conservado. Mas isso é uma exceção geométrica; para um ponto fixo qualquer (por exemplo um ponto do plano) o torque em geral é não nulo e, portanto, o momento angular não é conservado.
Passo 10
Resumo final e incentivo rápido.
- Resumindo: o bloco acelera com
, a energia potencial é , a energia mecânica total é constante e as curvas e são parábolas que se compensam, o momento linear do bloco não é conservado (há força externa resultante) e o momento angular também não é conservado em geral (há torque externo não nulo).
Força aí — você já tem todas as fórmulas prontas para a prova; se quiser, eu organizo um esquema de última hora com essas equações e um desenho rápido do gráfico.
Resposta
(a)
(tomando
positivo para baixo ao longo do plano), logo
e
.
(b) , onde
é a altura inicial (referência arbitrária).
(c) ,
, e
(constante). O gráfico:
é uma reta horizontal;
é parábola crescente;
é parábola decrescente, com
constante.
(d) Não. O momento linear do bloco não é conservado, pois existe força externa resultante ao longo do plano que produz variação de
.
(e) Em geral, não. O momento angular do bloco não é conservado porque as forças externas (peso e normal) em geral produzem torque diferente de zero em relação a um ponto fixo; somente em casos geométricos especiais (escolha de um ponto cuja linha de ação anule todos os torques) haveria conservação.
(b)
(c)
(d) Não. O momento linear do bloco não é conservado, pois existe força externa resultante
(e) Em geral, não. O momento angular do bloco não é conservado porque as forças externas (peso e normal) em geral produzem torque diferente de zero em relação a um ponto fixo; somente em casos geométricos especiais (escolha de um ponto cuja linha de ação anule todos os torques) haveria conservação.