Uma partícula de massa
é solta de uma altura desconhecida e nas proximidades da superfície da terra. No último segundo de queda, a partícula percorre uma distância
até tocar o solo. Despreze a resistência do ar.
(a) Encontre a equação de movimento.
(b) Encontre as funções horárias de posição e velocidade a menos de constantes desconhecidas.
(c) Encontre a altura de onde a partícula foi solta.
(d) Encontre a velocidade ao tocar o solo e seu momento linaar.
(e) A energia mecânica é conservada? Explique.
(a) Encontre a equação de movimento.
(b) Encontre as funções horárias de posição e velocidade a menos de constantes desconhecidas.
(c) Encontre a altura de onde a partícula foi solta.
(d) Encontre a velocidade ao tocar o solo e seu momento linaar.
(e) A energia mecânica é conservada? Explique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- Massa da partícula:
. - A partícula é solta (isto é, liberada a partir do repouso) de uma altura desconhecida próxima da superfície da Terra. Logo o instante inicial tem velocidade inicial
. - Despreza-se a resistência do ar.
- No último segundo de queda a partícula percorre uma distância
até tocar o solo. - A aceleração da gravidade próxima da superfície vale
(constante positiva).
- Massa da partícula:
-
O que o enunciado pede:
(a) Encontrar a equação de movimento.
(b) Encontrar as funções horárias de posição e velocidade a menos de constantes desconhecidas.
(c) Encontrar a altura de onde a partícula foi solta (em função dee ).
(d) Encontrar a velocidade ao tocar o solo e o momento linear nesse instante.
(e) A energia mecânica é conservada? Explicar.
Observação: vou adotar um referencial vertical com origem no solo, coordenada vertical
positiva para cima, e tempo inicial
no instante da soltura.
Passo 2
Equação de movimento (justificando passo a passo).
- Forças atuantes: desprezando resistência do ar, a única força vertical é o peso, que vale
(para baixo). - Pela Segunda Lei de Newton:
. Como a única força vertical é o peso: onde é a aceleração vertical. - Cancelando
em ambos os lados obtemos a equação diferencial do movimento:
Essa é a equação de movimento no referencial escolhido: aceleração constante apontando para baixo com magnitude
.
Passo 3
Integração da equação de movimento para obter as funções horárias (explicando cada constante).
Partimos de
Integrando uma vez em relação ao tempo obtemos a velocidade:
onde
é a constante de integração e representa a velocidade inicial em
.
Integrando novamente para obter a posição:
onde
é a constante de integração que representa a posição inicial em
(no nosso referencial
é a altura de soltura, que chamaremos de
).
Observações didáticas rápidas:
- A integração de
dá mais uma constante porque derivada e integral tem perda de informação; essa constante é a velocidade inicial. - A segunda integração dá a posição com outra constante, que é a posição inicial.
- Aqui todas as variáveis têm significado físico:
posição vertical, velocidade vertical, aceleração da gravidade, e constantes iniciais.
Como a partícula foi solta do repouso, podemos colocar
e tomar
. Assim, para este problema:
Passo 4
Relacionar o tempo total de queda
com a altura
e a velocidade no impacto.
-
Defina
como o tempo total entre soltura ( ) e o impacto com o solo. No impacto (origem no solo). Usando a expressão de : Assim a altura corresponde à expressão clássica. -
Velocidade ao tocar o solo (evaluada em
): O sinal negativo indica direção para baixo. O módulo da velocidade é.
Essas expressões são exatas, mas ainda contêm a incógnita
. Agora vamos usar a informação sobre a distância percorrida no último segundo para eliminar
.
Passo 5
Expressar a distância percorrida no último segundo e resolver para o tempo total
.
-
Distância percorrida durante o último segundo (entre
e ) é Observação:, e como é a altura que a partícula tinha 1 segundo antes do impacto, a diferença é positiva. -
Substituindo
: -
Usando
da queda total: -
Expandindo a diferença de quadrados:Assim
-
Isolando
:
Este é um resultado importante: o tempo total de queda é
.
Passo 6
Determinar a altura
em função de
e
(resolvendo a parte (c)).
- Usar
com : - Expandindo para uma forma mais explícita (opcional):
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é compacta, a segunda dá termos separados com unidades evidentes.
Passo 7
Encontrar a velocidade ao tocar o solo e o momento linear (parte (d)).
-
Velocidade ao tocar o solo: usar
com : O sinal negativo indica direção para baixo; o módulo (velocidade escalar) é -
Momento linear ao tocar o solo:Novamente o sinal negativo indica que o momento está dirigido para baixo; o módulo é
.
Obs.: as expressões acima estão em unidades consistentes se
estiver em unidades de comprimento e
em unidades de aceleração; a combinação
tem dimensões de velocidade somente porque
tem dimensão de comprimento e
tem dimensão de aceleração — isto exige atenção: na realidade, na dedução
fez
ter dimensão de velocidade vezes tempo? Repare: desde
com
em
e
em
, o produto
tem dimensões de
. Portanto
tem dimensão de velocidade (m/s) somente se
for adimensional — isto seria incoerente. Há um detalhe de interpretação: na dedução correta, obteve-se
, que tem dimensão de comprimento, e dali
— isto só é dimensionalmente consistente se
tem dimensão de tempo, o que é verdade:
. Assim
tem dimensão de comprimento? Vamos reescrever de forma consistente: ao substituir
em
obtemos
. Aqui o termo
tem dimensão de comprimento e
tem dimensão de aceleração; multiplicando por
(unidade) houve mistura: a forma correta é que
tem dimensão de comprimento, então realmente
só faz sentido se
for convertido para unidades de velocidade por divisão por uma unidade de tempo. Para não confundir, a forma algebraicamente correta e dimensionalmente clara é usar
com
, de modo que
onde a expressão é coerente porque
tem dimensão de tempo e ao multiplicar por
recupera-se comprimento por tempo. Portanto a expressão é dimensionalmente correta:
aparece aqui com a unidade
implicitamente porque, no contexto, a igualdade
já relaciona as dimensões corretamente. (Em resumo: as expressões apresentadas são consistentes se usar
no mesmo sistema de unidades.)
(O texto anterior explica por que as combinações são dimensionais e evita erro na prova.)
Passo 8
Conservação da energia mecânica (parte (e)) com verificação algebraica.
- Energia mecânica inicial (no repouso, altura
): - Energia mecânica no impacto:
- Usando
obtemos
Portanto a energia mecânica é conservada, porque a única força que realiza trabalho é conservativa (o peso) e não há forças dissipativas (resistência do ar foi desprezada).
Pequena mensagem de incentivo: deu trabalho, mas chegamos a todas as respostas com passos claros — você consegue usar esse raciocínio numa prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(direção para baixo),
(e) Sim. A energia mecânica é conservada (só atua a força peso, que é conservativa; sem resistência do ar tem
).