Considere um disco de carga
uniformemente distribuída sobre sua superfície de raio
. A uma distância
do centro do disco e ao longo do seu eixo principal, é colocada uma carga pontual
. Encontre a força do disco sobre a carga pontual e vice-versa. Caso seja feito um furo no centro do disco e a carga
possa mover-se livremente
, podemos dizer que o sistema é M.H.S?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo no mesmo sistema de eixos, eixo
perpendicular ao plano do disco e apontando para o ponto onde a carga
está, a uma distância
do centro):
- Um disco de raio
com carga total uniformemente distribuída sobre a superfície do disco. - Uma carga pontual
colocada sobre o eixo do disco, a uma distância do centro (no sentido positivo de ). - Pedidos:
- Encontrar a força do disco sobre a carga pontual
. - Encontrar a força da carga
sobre o disco (ou verificar relação entre elas). - Se for feito um furo no centro do disco (assinando um anel/arranjo anelar) e a carga
puder mover-se livremente pelo furo, podemos dizer que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)? Em caso afirmativo, sob quais condições e qual a frequência pequena-oscilações?
- Encontrar a força do disco sobre a carga pontual
Informações relevantes implícitas que usarei:
- Densidade superficial de carga do disco:
. - Lei de Coulomb / campo elétrico superposição.
- A força sobre
será onde é o campo do disco no ponto onde está.
Passo 2
Cálculo do campo elétrico no eixo do disco por integração (método de anéis): ideia física e montagem.
- Divida o disco em anéis concêntricos de raio
e espessura . Cada anel tem área e carga . - Campo de um anel de carga no ponto situado no eixo a uma distância
do centro tem apenas componente axial (simetria): a contribuição axial do anel é
Substituindo
,
- Agora integramos
de a para obter o campo total no eixo (apontando na direção se for positivo):
Fazer a integral: use substituição
, então
e
. Assim
- Substituindo na expressão de
:
Esse é o campo elétrico no eixo a uma distância
do centro, apontando no sentido
(para cima se
e
).
Passo 3
Força do disco sobre a carga
.
- A força é
. Substituindo :
- Substituindo
para escrever em termos de :
- Interpretação de sinais (útil na prova): se
(logo ) e , a força é positiva em e empurra para longe do disco (repulsão). Se os sinais forem opostos, a força atrai em direção ao disco.
Passo 4
Força da carga
sobre o disco (e verificação de ação e reação).
- Pela lei de Coulomb, cada elemento de carga
do disco sente a força de . O componente axial diferencial de força sobre um anel elemental fica (mesma integral que usamos, mas trocando papéis):
Integrando de
até
obtém-se exatamente (após os mesmos passos) a magnitude
- Comparando com a força sobre
(Passo 3), vemos que as magnitudes coincidem. A direção é oposta (se a força do disco sobre aponta para + , a força de sobre o disco aponta para ). Isso é a ação e reação (terceira lei de Newton) aplicada ao par de cargas. - Em forma vetorial:
Passo 5
Caso com furo no centro (disco vira anel/anel com raio interno
,
) e análise de pequena oscilação (M.H.S.?) — construção do campo e linearização.
- Campo de um anel (anel = disco de raio
menos disco de raio ): pelo princípio da superposição,
- Observe que
. Então, com furo, existe um ponto de equilíbrio no centro . - Para pequenas oscilações (pequenos
), expandimos em série de Taylor. Para ,
para
ou
. Assim, para pequenas
,
- Equação do movimento para a partícula de massa
deslocando-se pelo furo ao longo do eixo:
- Para que isso seja um M.H.S. (equação da forma
com ) o coeficiente de na direita deve ser negativo:
Como normalmente
, a condição reduz a:
ou seja, a carga pontual
deve ter sinal oposto ao sinal da densidade superficial
(portanto sinais opostos a
). Em palavras: carga pontual atraída ao anel quando deslocada — força restauradora.
- Frequência angular das pequenas oscilações (quando
):
Como o lado direito é positivo quando
,
real e
- Observações finais importantes:
- Se não houver furo (
), e não há equilíbrio na origem — não se obtém M.H.S. - Se
e tiverem o mesmo sinal, a origem é ponto de equilíbrio instável (coeficiente positivo na equação linearizada) — não dá M.H.S. - A expressão acima é apenas para pequenas oscilações (linearização). Para amplitudes grandes o movimento não é perfeitamente harmônico.
- Se não houver furo (
Resposta
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Com furo de raio interno