Considere um disco de carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície de raio R. A uma distância r do centro do disco e ao longo do seu eixo principal, é colocada uma carga pontual q. Encontre a força do disco sobre a carga pontual e vice-versa. Caso seja feito um furo no centro do disco e a carga q possa mover-se livremente { }^{2}, podemos dizer que o sistema é M.H.S?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo no mesmo sistema de eixos, eixo z perpendicular ao plano do disco e apontando para o ponto onde a carga q está, a uma distância r do centro):
  • Um disco de raio R com carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície do disco.
  • Uma carga pontual q colocada sobre o eixo do disco, a uma distância r do centro (no sentido positivo de z).
  • Pedidos:
    1. Encontrar a força do disco sobre a carga pontual q.
    2. Encontrar a força da carga q sobre o disco (ou verificar relação entre elas).
    3. Se for feito um furo no centro do disco (assinando um anel/arranjo anelar) e a carga q puder mover-se livremente pelo furo, podemos dizer que o sistema realiza Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)? Em caso afirmativo, sob quais condições e qual a frequência pequena-oscilações?
Informações relevantes implícitas que usarei:
  • Densidade superficial de carga do disco: \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}.
  • Lei de Coulomb / campo elétrico superposição.
  • A força sobre q será \mathbf{F}=q\mathbf{E} onde \mathbf{E} é o campo do disco no ponto onde q está.

Passo 2

Cálculo do campo elétrico no eixo do disco por integração (método de anéis): ideia física e montagem.
  • Divida o disco em anéis concêntricos de raio \rho e espessura d\rho. Cada anel tem área dA = 2\pi \rho\,d\rho e carga dq=\sigma\,dA=\sigma 2\pi\rho\,d\rho.
  • Campo de um anel de carga no ponto situado no eixo a uma distância r do centro tem apenas componente axial (simetria): a contribuição axial dE do anel é
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_{\text{anel}}\; r}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}}.
Substituindo q_{\text{anel}}=dq=\sigma 2\pi\rho\,d\rho,
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma 2\pi\rho\,d\rho \; r}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}} =\frac{\sigma r}{2\varepsilon_0}\,\frac{\rho\,d\rho}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}}.
  • Agora integramos \rho de 0 a R para obter o campo total E(r) no eixo (apontando na direção \hat{\mathbf{z}} se for positivo):
E(r)=\frac{\sigma r}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{\rho\,d\rho}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}}.
Fazer a integral: use substituição u=r^{2}+\rho^{2}, então du=2\rho\,d\rho e \rho\,d\rho=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int_{0}^{R}\frac{\rho\,d\rho}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}} =\frac{1}{2}\int_{u=r^{2}}^{u=r^{2}+R^{2}} u^{-3/2}\,du =\frac{1}{2}\left[ -2u^{-1/2}\right]_{r^{2}}^{r^{2}+R^{2}} =-\left(\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}-\frac{1}{r}\right).
  • Substituindo na expressão de E(r):
E(r)=\frac{\sigma r}{2\varepsilon_0}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right).
Esse é o campo elétrico no eixo a uma distância r do centro, apontando no sentido \hat{\mathbf{z}} (para cima se \sigma>0 e r>0).

Passo 3

Força do disco sobre a carga q.
  • A força é \mathbf{F}_{\text{disk on }q}=q\,\mathbf{E}(r). Substituindo E(r):
\mathbf{F}_{\text{disk on }q} = q\,\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
  • Substituindo \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}} para escrever em termos de Q:
\mathbf{F}_{\text{disk on }q} =\frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 R^{2}}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
  • Interpretação de sinais (útil na prova): se Q>0 (logo \sigma>0) e q>0, a força é positiva em \hat{\mathbf{z}} e empurra q para longe do disco (repulsão). Se os sinais forem opostos, a força atrai q em direção ao disco.

Passo 4

Força da carga q sobre o disco (e verificação de ação e reação).
  • Pela lei de Coulomb, cada elemento de carga dq' do disco sente a força de q. O componente axial diferencial de força sobre um anel elemental fica (mesma integral que usamos, mas trocando papéis):
dF_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,dq'\; r}{(r^{2}+\rho^{2})^{3/2}}, \qquad dq'=\sigma 2\pi\rho\,d\rho.
Integrando de \rho=0 até R obtém-se exatamente (após os mesmos passos) a magnitude
F_{z,\text{(sobre disco)}}=\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\right).
  • Comparando com a força sobre q (Passo 3), vemos que as magnitudes coincidem. A direção é oposta (se a força do disco sobre q aponta para + \hat{\mathbf{z}}, a força de q sobre o disco aponta para -\hat{\mathbf{z}}). Isso é a ação e reação (terceira lei de Newton) aplicada ao par de cargas.
  • Em forma vetorial:
\mathbf{F}_{q\text{ on disk}}=-\mathbf{F}_{\text{disk on }q}.

Passo 5

Caso com furo no centro (disco vira anel/anel com raio interno a, 0<a<R) e análise de pequena oscilação (M.H.S.?) — construção do campo e linearização.
  • Campo de um anel (anel = disco de raio R menos disco de raio a): pelo princípio da superposição,
E_{\text{anel}}(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigg(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigg) -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigg(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\Bigg) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
  • Observe que E_{\text{anel}}(0)=0. Então, com furo, existe um ponto de equilíbrio no centro z=0.
  • Para pequenas oscilações (pequenos z), expandimos em série de Taylor. Para z\ll a,R,
\frac{z}{\sqrt{z^{2}+s^{2}}}\approx\frac{z}{s}\quad\text{(primeira ordem em \(z\))},
para s=a ou s=R. Assim, para pequenas z,
E_{\text{anel}}(z)\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,z\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{R}\right).
  • Equação do movimento para a partícula de massa m deslocando-se pelo furo ao longo do eixo:
m\ddot z = q E_{\text{anel}}(z)\approx q\,\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{R}\right) z.
  • Para que isso seja um M.H.S. (equação da forma m\ddot z = -k z com k>0) o coeficiente de z na direita deve ser negativo:
q\,\sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{R}\right)<0.
Como normalmente a<R\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right)>0, a condição reduz a:
q\,\sigma<0,
ou seja, a carga pontual q deve ter sinal oposto ao sinal da densidade superficial \sigma (portanto sinais opostos a Q). Em palavras: carga pontual atraída ao anel quando deslocada — força restauradora.
  • Frequência angular das pequenas oscilações (quando q\sigma<0):
m\ddot z \approx -m\omega^{2} z \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=-\frac{q\sigma}{2m\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{R}\right).
Como o lado direito é positivo quando q\sigma<0, \omega real e
\omega=\sqrt{-\dfrac{q\sigma}{2m\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right)}.
  • Observações finais importantes:
    • Se não houver furo ( a=0 ), E(0)\neq 0 e não há equilíbrio na origem — não se obtém M.H.S.
    • Se q e \sigma tiverem o mesmo sinal, a origem é ponto de equilíbrio instável (coeficiente positivo na equação linearizada) — não dá M.H.S.
    • A expressão acima é apenas para pequenas oscilações (linearização). Para amplitudes grandes o movimento não é perfeitamente harmônico.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{\text{disk on }q} =\frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigg(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\Bigg)\hat{\mathbf{z}} =\frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 R^{2}}\Bigg(1-\frac{r}{\sqrt{r^{2}+R^{2}}}\Bigg)\hat{\mathbf{z}}
\newline
\displaystyle \mathbf{F}_{q\text{ on disk}}=-\mathbf{F}_{\text{disk on }q}
\newline
Com furo de raio interno a>0: pequeno movimento harmônico existe somente se q\sigma<0 (sinais opostos). A frequência angular das pequenas oscilações é
\displaystyle \omega=\sqrt{-\dfrac{q\sigma}{2m\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{R}\right)}.

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