Dadas as definções de torque(
e momento
, mostre que ambos estão relacionados pela equação (4).
Obs: Tal equação é conhecida como segunda lei de Newton para a rotação.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a torque
e o momento angular
estão relacionados pela fórmula
Informações / definições que usaremos (definições padrão, inferidas do enunciado):
- Para uma partícula pontual, a posição em relação a um ponto de referência é
. - A velocidade é
. - O momento linear (impulso) é
, com massa da partícula (assumimos constante). - O momento angular (angular momentum) da partícula em relação à origem é definido por
- A torque (momento de uma força) em relação à origem é definida por
onde
é a força aplicada à partícula.
- Usaremos também a segunda lei de Newton na sua forma
.
O objetivo é partir dessas definições e mostrar rigorosamente que
.
Passo 2
Ferramentas matemáticas que vamos precisar (explicação didática):
- Regra da derivada do produto (produto vetorial): para vetores dependentes do tempo
e vale
Isto é análogo à regra do produto escalar, só que aplicada ao produto vetorial. Pode-se demonstrar componente a componente ou usar propriedades lineares do operador derivada.
- Propriedade do produto vetorial com vetores paralelos: para qualquer vetor
,
Isto porque o ângulo entre
e ele mesmo é zero, e o produto vetorial tem magnitude
.
- Segunda lei de Newton (forma usual para massa constante):
.
Vou usar essas ferramentas passo a passo; nada complicado, só atenção em aplicar a regra do produto e os fatos acima.
Passo 3
Derivação direta para uma partícula pontual:
Começamos calculando a derivada temporal do momento angular usando a regra do produto vetorial:
Começamos calculando a derivada temporal do momento angular usando a regra do produto vetorial:
Agora substituímos
e
(massa constante):
A primeira parcela é
pois
(vetor com ele mesmo). Logo sobra
Passo 4
Uso da segunda lei de Newton para substituir
:
Pela segunda lei, . Substituindo na expressão anterior obtemos
Pela segunda lei,
Pelo que definimos no Passo 1,
é exatamente a torque
. Portanto
que é a relação que queríamos demonstrar.
Passo 5
Observações, hipóteses e generalizações rápidas (explicadas de forma simples):
- Hipóteses usadas: massa
constante e origem fixa num referencial inercial. Se a massa varia com o tempo, aparece um termo extra e a demonstração precisa ser ajustada; em física básica normalmente assumimos massa constante. - Para um sistema de partículas: define-se
. Derivando e separando forças externas e internas, as torques internas se cancelam se as forças internas obedecem à terceira lei de Newton (ação-reação) e agem ao longo da linha que une as partículas. O resultado é
ou seja, a taxa de variação do momento angular total é igual à torque externa total.
- Interpretação física simples: torque muda o momento angular; se a torque externa total for zero, o momento angular total é conservado.
Passo 6
Exemplo curto para fixar (parte didática, bem concreto):
Partícula em movimento circular uniforme de raio com velocidade angular
. A posição é
e
. O momento angular tem módulo
e direção
; como
e
são constantes,
. A força centrípeta é radial (paralela a
), então
. Ou seja,
— tudo coerente com a demonstração acima.
Partícula em movimento circular uniforme de raio