Dadas as definções de torque( \vec{\tau}) e momento \operatorname{angular}(\vec{L}), mostre que ambos estão relacionados pela equação (4).
\vec{\tau}=\frac{d \vec{L}}{d t}
Obs: Tal equação é conhecida como segunda lei de Newton para a rotação.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a torque \vec{\tau} e o momento angular \vec{L} estão relacionados pela fórmula
\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}.
Informações / definições que usaremos (definições padrão, inferidas do enunciado):
  • Para uma partícula pontual, a posição em relação a um ponto de referência é \vec{r}.
  • A velocidade é \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • O momento linear (impulso) é \vec{p}=m\vec{v}, com m massa da partícula (assumimos m constante).
  • O momento angular (angular momentum) da partícula em relação à origem é definido por
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
  • A torque (momento de uma força) em relação à origem é definida por
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},
onde \vec{F} é a força aplicada à partícula.
  • Usaremos também a segunda lei de Newton na sua forma \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}.
O objetivo é partir dessas definições e mostrar rigorosamente que \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}.

Passo 2

Ferramentas matemáticas que vamos precisar (explicação didática):
  • Regra da derivada do produto (produto vetorial): para vetores dependentes do tempo \vec{A}(t) e \vec{B}(t) vale
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=\frac{d\vec{A}}{dt}\times\vec{B}+\vec{A}\times\frac{d\vec{B}}{dt}.
Isto é análogo à regra do produto escalar, só que aplicada ao produto vetorial. Pode-se demonstrar componente a componente ou usar propriedades lineares do operador derivada.
  • Propriedade do produto vetorial com vetores paralelos: para qualquer vetor \vec{u},
\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}.
Isto porque o ângulo entre \vec{u} e ele mesmo é zero, e o produto vetorial tem magnitude |\vec{u}||\vec{u}|\sin 0=0.
  • Segunda lei de Newton (forma usual para massa constante): \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}.
Vou usar essas ferramentas passo a passo; nada complicado, só atenção em aplicar a regra do produto e os fatos acima.

Passo 3

Derivação direta para uma partícula pontual:
Começamos calculando a derivada temporal do momento angular usando a regra do produto vetorial:
\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}\times\vec{p}\bigr) =\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.
Agora substituímos \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} e \vec{p}=m\vec{v} (massa constante):
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{v}\times(m\vec{v})+\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.
A primeira parcela é
\vec{v}\times(m\vec{v})=m(\vec{v}\times\vec{v})=m\vec{0}=\vec{0},
pois \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0} (vetor com ele mesmo). Logo sobra
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}.

Passo 4

Uso da segunda lei de Newton para substituir \dfrac{d\vec{p}}{dt}:
Pela segunda lei, \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}. Substituindo na expressão anterior obtemos
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}.
Pelo que definimos no Passo 1, \vec{r}\times\vec{F} é exatamente a torque \vec{\tau}. Portanto
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau},
que é a relação que queríamos demonstrar.

Passo 5

Observações, hipóteses e generalizações rápidas (explicadas de forma simples):
  • Hipóteses usadas: massa m constante e origem fixa num referencial inercial. Se a massa varia com o tempo, aparece um termo extra \vec{r}\times \dot{m}\vec{v} e a demonstração precisa ser ajustada; em física básica normalmente assumimos massa constante.
  • Para um sistema de partículas: define-se \vec{L}_{\text{tot}}=\sum_i \vec{r}_i\times\vec{p}_i. Derivando e separando forças externas e internas, as torques internas se cancelam se as forças internas obedecem à terceira lei de Newton (ação-reação) e agem ao longo da linha que une as partículas. O resultado é
\frac{d\vec{L}_{\text{tot}}}{dt}=\sum_i \vec{r}_i\times\vec{F}_i^{\text{(ext)}}=\vec{\tau}_{\text{ext}},
ou seja, a taxa de variação do momento angular total é igual à torque externa total.
  • Interpretação física simples: torque muda o momento angular; se a torque externa total for zero, o momento angular total é conservado.

Passo 6

Exemplo curto para fixar (parte didática, bem concreto):
Partícula em movimento circular uniforme de raio R com velocidade angular \omega. A posição é \vec{r}=R(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}) e \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=R\omega(-\sin\omega t\,\hat{\imath}+\cos\omega t\,\hat{\jmath}). O momento angular tem módulo L=mRv_{\perp}=mR^2\omega e direção \hat{k}; como R e \omega são constantes, \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}. A força centrípeta é radial (paralela a \vec{r}), então \vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}. Ou seja, \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}=\vec{0} — tudo coerente com a demonstração acima.

Resposta

\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}

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