Um bloco de massa
desce um plano inclinado de um ângulo
, onde o coeficiente de atrito cinético vale
. Partindo do repouso, quanto tempo leva para percorrer uma distância
ao longo deste plano ?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um bloco de massa $ m $ que está descendo por um plano inclinado com um ângulo $ \theta $. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é $ \mu_c $. A pergunta é: quanto tempo o bloco leva para percorrer uma distância $ d $ ao longo desse plano, começando do repouso?
Vamos precisar usar cinemática e leis de Newton para resolver isso. Primeiro, vamos descobrir a aceleração do bloco enquanto ele desce o plano inclinado levando em conta a força da gravidade e o atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco:
- Peso ($ P $): É a força da gravidade, que atua para baixo, com magnitude $ P = m \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
- Força Normal ($ N $): Perpendicular ao plano inclinado.
- Força de Atrito ($ F_{atrito} $): Age contra o movimento, paralela ao plano inclinado, com magnitude $ F_{atrito} = \mu_c \cdot N $.
Passo 3
Vamos decompor o peso nas componentes paralela e perpendicular ao plano inclinado:
- Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $
- Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) $
A força normal $ N $ é igual à componente perpendicular do peso:
Passo 4
A força de atrito $ F_{atrito} $ é então:
Passo 5
Agora, aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano:
As forças paralelas são $ P_{\parallel} $ para baixo e $ F_{atrito} $ para cima, então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
Portanto, a aceleração $ a $ do bloco é:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da cinemática para encontrar o tempo $ t $ necessário para o bloco percorrer a distância $ d $, partindo do repouso. A equação que liga distância, aceleração e tempo é:
Queremos resolver para $ t $:
Substituindo $ a $ pela expressão que encontramos:
Resposta
A resposta correta é a alternativa (a):