Um bloco de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação exclusiva de uma força resultante dada por
, onde
são constantes. No instante em que o bloco passa pela posição
, sua velocidade é
. Não atuam forças dissipativas e o movimento ocorre em um referencial inercial.
Sobre o movimento do bloco, assinale a alternativa CORRETA.
a) A aceleração do bloco é constante, pois a força não depende do tempo.
b) A velocidade do bloco cresce indefinidamente, pois a força é sempre positiva.
c) A aceleração do bloco diminui com o aumento de x, e a velocidade tende a um valor máximo finito.
d) A força viola a segunda lei de Newton, pois não pode ser escrita como
.
e) O movimento só pode ser determinado numericamente, pois a força depende da posição.
a) A aceleração do bloco é constante, pois a força não depende do tempo.
b) A velocidade do bloco cresce indefinidamente, pois a força é sempre positiva.
c) A aceleração do bloco diminui com o aumento de x, e a velocidade tende a um valor máximo finito.
d) A força viola a segunda lei de Newton, pois não pode ser escrita como
e) O movimento só pode ser determinado numericamente, pois a força depende da posição.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que eu escolha a alternativa correta sobre o movimento:
- Força resultante ao longo do eixo
: , com e . - Massa do bloco:
. - No instante em que o bloco passa por
, a velocidade é . - Não há forças dissipativas e o referencial é inercial.
O que o enunciado quer é identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) descreve corretamente o movimento do bloco dadas essas informações.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton, a equação do movimento é
onde
é a aceleração do bloco e
é a posição. Assim a aceleração, em função da posição, é
Observação didática: aqui
não é uma constante — é uma função de
porque a força depende de
. Dizer apenas que a força “não depende do tempo” não implica que a aceleração seja constante; ela depende da posição e, indiretamente, do tempo via
.
Passo 3
Para relacionar velocidade e posição sem resolver diretamente uma equação em
, uso a identitdade que vem da regra da cadeia:
onde
. Essa forma é muito útil quando a força é função de
: transforma uma equação com variável
em uma com variável
.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos a equação diferencial de primeira ordem em
e
:
Agora separo variáveis e integro entre os pontos conhecidos: quando
temos
; para posição genérica
a velocidade é
. Integro:
Calculo os dois lados explicitamente.
Passo 5
Avaliação das integrais:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Igualando os dois resultados:
Isolando
:
Portanto a velocidade em função de
é
Comentário didático: essa expressão também pode ser obtida pela energia: o trabalho da força entre
e
é
, e esse trabalho aumenta a energia cinética do bloco — é a mesma conta reescrita.
Passo 6
Analisando limites e comportamento para entender as alternativas:
- A aceleração em função de
é . Como decresce com (pois ), a aceleração diminui quando aumenta. Logo não é constante. - A velocidade
obtida em
Passo 7
pois
. Assim
um valor finito. Fisicamente: embora a força seja sempre positiva (empurra na mesma direção do movimento), ela decai exponencialmente; o trabalho total que essa força pode fazer ao longo de todo o semi-eixo
é finito
, e portanto a energia cinética aumenta apenas até um máximo finito.
- A segunda lei de Newton não é violada: a lei admite forças que dependem de
; basta que — e essa igualdade é exatamente o que usamos. - A solução foi obtida analiticamente (integração das equações), portanto não é necessário recorrer obrigatoriamente a métodos numéricos.
Resposta
c)