Um bloco de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação exclusiva de uma força resultante dada por \mathbf{F}(\mathrm{x})=\mathrm{F}_{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{ax}} \hat{\mathbf{x}}, onde \mathrm{F}_{0}>0 \mathrm{e} \alpha>0 são constantes. No instante em que o bloco passa pela posição \mathrm{x}=0, sua velocidade é \mathrm{v}_{0}. Não atuam forças dissipativas e o movimento ocorre em um referencial inercial.
Sobre o movimento do bloco, assinale a alternativa CORRETA.
a) A aceleração do bloco é constante, pois a força não depende do tempo.
b) A velocidade do bloco cresce indefinidamente, pois a força é sempre positiva.
c) A aceleração do bloco diminui com o aumento de x, e a velocidade tende a um valor máximo finito.
d) A força viola a segunda lei de Newton, pois não pode ser escrita como \mathrm{md}^{2} \mathrm{x} / \mathrm{dt}^{2}.
e) O movimento só pode ser determinado numericamente, pois a força depende da posição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que eu escolha a alternativa correta sobre o movimento:
  • Força resultante ao longo do eixo x: \displaystyle F(x)=F_{0}e^{-\alpha x}\,\hat{\mathbf{x}}, com F_{0}>0 e \alpha>0.
  • Massa do bloco: m.
  • No instante em que o bloco passa por x=0, a velocidade é v(0)=v_{0}.
  • Não há forças dissipativas e o referencial é inercial.
O que o enunciado quer é identificar qual das alternativas (a), (b), (c), (d) ou (e) descreve corretamente o movimento do bloco dadas essas informações.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton, a equação do movimento é
m\ddot{x}=F(x)=F_{0}e^{-\alpha x},
onde \ddot{x} é a aceleração do bloco e x é a posição. Assim a aceleração, em função da posição, é
\ddot{x}(x)=\frac{F_{0}}{m}\,e^{-\alpha x}.
Observação didática: aqui \ddot{x} não é uma constante — é uma função de x porque a força depende de x. Dizer apenas que a força “não depende do tempo” não implica que a aceleração seja constante; ela depende da posição e, indiretamente, do tempo via x(t).

Passo 3

Para relacionar velocidade e posição sem resolver diretamente uma equação em t, uso a identitdade que vem da regra da cadeia:
\ddot{x}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},
onde v=\dot{x}. Essa forma é muito útil quando a força é função de x: transforma uma equação com variável t em uma com variável x.

Passo 4

Substituindo \ddot{x}=v\,dv/dx em m\ddot{x}=F_{0}e^{-\alpha x} obtemos a equação diferencial de primeira ordem em v e x:
m\,v\frac{dv}{dx}=F_{0}e^{-\alpha x}.
Agora separo variáveis e integro entre os pontos conhecidos: quando x=0 temos v=v_{0}; para posição genérica x a velocidade é v. Integro:
\int_{v_{0}}^{v} m\,v\,dv=\int_{0}^{x} F_{0}e^{-\alpha x}\,dx.
Calculo os dois lados explicitamente.

Passo 5

Avaliação das integrais:
  • Lado esquerdo:
\int_{v_{0}}^{v} m\,v\,dv = \frac{1}{2}m\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr).
  • Lado direito:
\int_{0}^{x} F_{0}e^{-\alpha x}\,dx = \left[-\frac{F_{0}}{\alpha}e^{-\alpha x}\right]_{0}^{x}=\frac{F_{0}}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha x}\bigr).
Igualando os dois resultados:
\frac{1}{2}m\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr)=\frac{F_{0}}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha x}\bigr).
Isolando v^{2}:
v^{2}=v_{0}^{2}+\frac{2F_{0}}{m\alpha}\Bigl(1-e^{-\alpha x}\Bigr).
Portanto a velocidade em função de x é
v(x)=\sqrt{\,v_{0}^{2}+\dfrac{2F_{0}}{m\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha x}\bigr)\,}\,.
Comentário didático: essa expressão também pode ser obtida pela energia: o trabalho da força entre 0 e x é \int_{0}^{x}F_{0}e^{-\alpha x}dx=(F_{0}/\alpha)(1-e^{-\alpha x}), e esse trabalho aumenta a energia cinética do bloco — é a mesma conta reescrita.

Passo 6

Analisando limites e comportamento para entender as alternativas:
  • A aceleração em função de x é \displaystyle \ddot{x}(x)=\frac{F_{0}}{m}e^{-\alpha x}. Como e^{-\alpha x} decresce com x (pois \alpha>0), a aceleração diminui quando x aumenta. Logo não é constante.
  • A velocidade v(x) obtida em

Passo 7

\lim_{x\to\infty}v^{2}(x)=v_{0}^{2}+\frac{2F_{0}}{m\alpha},
pois \lim_{x\to\infty}e^{-\alpha x}=0. Assim
\lim_{x\to\infty}v(x)=\sqrt{\,v_{0}^{2}+\dfrac{2F_{0}}{m\alpha}\,\,},
um valor finito. Fisicamente: embora a força seja sempre positiva (empurra na mesma direção do movimento), ela decai exponencialmente; o trabalho total que essa força pode fazer ao longo de todo o semi-eixo x\ge0 é finito \bigl(F_{0}/\alpha\bigr), e portanto a energia cinética aumenta apenas até um máximo finito.
  • A segunda lei de Newton não é violada: a lei admite forças que dependem de x; basta que m\ddot{x}=F(x) — e essa igualdade é exatamente o que usamos.
  • A solução foi obtida analiticamente (integração das equações), portanto não é necessário recorrer obrigatoriamente a métodos numéricos.

Resposta

c)

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