Um elétron e um próton possuem a mesma energia cinética não relativística e propagam-se no vácuo. Ambos são descritos como ondas de matéria de acordo com a hipótese de De Broglie.
Considere as seguintes proposições:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que avaliemos a veracidade das proposições I–IV:
- Dois corpúsculos: um elétron e um próton.
- Ambos têm a mesma energia cinética não relativística (ou seja,
é igual para os dois). - Ambos são descritos por ondas de matéria (hipótese de De Broglie).
As proposições a serem julgadas são:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Passo 2
Apresentar a relação de De Broglie e explicar as variáveis: a hipótese de De Broglie relaciona o comprimento de onda
de uma partícula com seu momento linear
por
onde
é a constante de Planck (número fixo,
). Aqui:
-
é o comprimento de onda de matéria (unidade: metro), -
é o momento linear da partícula (unidade: ), -
é constante (unidade: ).
Interpretação prática: comprimento de onda é inversamente proporcional ao momento — maior momento → menor, menor momento → maior .
Passo 3
Relacionar energia cinética, momento e velocidade no regime não relativístico e definir variáveis:
A energia cinética não relativística de uma partícula de massa e velocidade
é
A energia cinética não relativística de uma partícula de massa
O momento linear é
Podemos eliminar
para ligar
e
. Substituindo
em
dá
Isolando
e
em função de
e
obtemos fórmulas úteis:
Explicação:
cresce com a raiz quadrada da massa (para K fixo), e
diminui com a raiz quadrada da massa (para K fixo).
Passo 4
Combinar as relações: usar
com
. Assim o comprimento de onda em função de
e
é
Aqui vê-se claramente que
depende tanto de
quanto da massa
da partícula. Observação física importante: para duas partículas diferentes com a mesma
, a que tiver menor massa terá maior
e maior
(pela fórmula de
).
Passo 5
Aplicar as fórmulas ao caso elétron vs próton, lembrando que a massa do elétron é muito menor que a do próton:
- Denotar massas por
(elétron) e (próton) e notar que . Numericamente (ou , ).
Com a mesmafixa:
Como
segue
. Pelo resultado de De Broglie,
logo
. Também, pela fórmula de
,
portanto
.
Passo 6
Analisar cada proposição usando os resultados:
- I. “O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.” Pelo raciocínio acima, com
igual e temos . Então I é verdadeira. - II. “O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.” Da fórmula
vê‑se que depende de e de . Portanto II é falsa. Exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): para a mesma , , ou seja, diferem muito. - III. “A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.” Como
, massa menor → velocidade maior; portanto . Assim III é verdadeira. - IV. “Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.” Como
depende de , e , então . Logo IV é falsa.
Passo 7
Recapitulando de forma bem direta (para decorar na prova): com energia cinética fixa,
Assim a partícula mais leve tem menor momento, maior velocidade e maior comprimento de onda.
Resposta
I. Verdadeira
II. Falsa
III. Verdadeira
IV. Falsa
II. Falsa
III. Verdadeira
IV. Falsa