Um elétron e um próton possuem a mesma energia cinética não relativística e propagam-se no vácuo. Ambos são descritos como ondas de matéria de acordo com a hipótese de De Broglie.
Considere as seguintes proposições:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que avaliemos a veracidade das proposições I–IV:
  • Dois corpúsculos: um elétron e um próton.
  • Ambos têm a mesma energia cinética não relativística (ou seja, \,K é igual para os dois).
  • Ambos são descritos por ondas de matéria (hipótese de De Broglie).
    As proposições a serem julgadas são:
    I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
    II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
    III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
    IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.

Passo 2

Apresentar a relação de De Broglie e explicar as variáveis: a hipótese de De Broglie relaciona o comprimento de onda \lambda de uma partícula com seu momento linear p por
\lambda = \frac{h}{p},
onde \,h é a constante de Planck (número fixo, \,h\approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}). Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda de matéria (unidade: metro),
  • p é o momento linear da partícula (unidade: \mathrm{kg\cdot m/s}),
  • h é constante (unidade: \mathrm{J\cdot s}).
    Interpretação prática: comprimento de onda é inversamente proporcional ao momento — maior momento → menor \lambda, menor momento → maior \lambda.

Passo 3

Relacionar energia cinética, momento e velocidade no regime não relativístico e definir variáveis:
A energia cinética não relativística de uma partícula de massa m e velocidade v é
K=\frac{1}{2}mv^{2}.
O momento linear é
p = mv.
Podemos eliminar v para ligar K e p. Substituindo v = p/m em K
K = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^{2} = \frac{p^{2}}{2m}.
Isolando p e v em função de K e m obtemos fórmulas úteis:
p = \sqrt{2mK}, \qquad v = \sqrt{\frac{2K}{m}}.
Explicação: p cresce com a raiz quadrada da massa (para K fixo), e v diminui com a raiz quadrada da massa (para K fixo).

Passo 4

Combinar as relações: usar \lambda = h/p com p=\sqrt{2mK}. Assim o comprimento de onda em função de K e m é
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}.
Aqui vê-se claramente que \lambda depende tanto de K quanto da massa m da partícula. Observação física importante: para duas partículas diferentes com a mesma K, a que tiver menor massa terá maior \lambda e maior v (pela fórmula de v).

Passo 5

Aplicar as fórmulas ao caso elétron vs próton, lembrando que a massa do elétron é muito menor que a do próton:
  • Denotar massas por \,m_e (elétron) e \,m_p (próton) e notar que \,m_e < m_p. Numericamente \,m_p \approx 1836\,m_e (ou \,m_e\approx 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \,m_p\approx1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}).
    Com a mesma K fixa:
p_e = \sqrt{2m_eK},\qquad p_p = \sqrt{2m_pK}.
Como m_e < m_p segue p_e < p_p. Pelo resultado de De Broglie,
\lambda_e = \frac{h}{p_e},\qquad \lambda_p = \frac{h}{p_p},
logo \lambda_e > \lambda_p. Também, pela fórmula de v,
v_e = \sqrt{\frac{2K}{m_e}},\qquad v_p = \sqrt{\frac{2K}{m_p}},
portanto v_e > v_p.

Passo 6

Analisar cada proposição usando os resultados:
  • I. “O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.” Pelo raciocínio acima, com K igual e m_e<m_p temos \lambda_e>\lambda_p. Então I é verdadeira.
  • II. “O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.” Da fórmula \lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2mK}} vê‑se que \lambda depende de K e de m. Portanto II é falsa. Exemplo numérico rápido (apenas ilustrativo): para a mesma K, \lambda_e/\lambda_p=\sqrt{m_p/m_e}\approx\sqrt{1836}\approx42{,}9, ou seja, diferem muito.
  • III. “A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.” Como v=\sqrt{2K/m}, massa menor → velocidade maior; portanto v_e>v_p. Assim III é verdadeira.
  • IV. “Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.” Como p=\sqrt{2mK} depende de m, e m_e\neq m_p, então p_e\neq p_p. Logo IV é falsa.

Passo 7

Recapitulando de forma bem direta (para decorar na prova): com energia cinética fixa,
p\propto\sqrt{m},\qquad v\propto\frac{1}{\sqrt{m}},\qquad \lambda\propto\frac{1}{\sqrt{m}}.
Assim a partícula mais leve tem menor momento, maior velocidade e maior comprimento de onda.

Resposta

I. Verdadeira
II. Falsa
III. Verdadeira
IV. Falsa

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