Um bloco A de massa m está sobre uma mesa horizontal, sem atrito. O bloco A está ligado por uma corda leve (ideal, sem massa e inextensível) a um bloco B, também de massa m, suspenso. A corda passa por uma polia de massa M e raio R, que pode ser considerada como um disco uniforme. Considere que a corda não desliza sobre a polia. O sistema está inicialmente em repouso e, então, é liberado.
a) Faça um diagrama de forças para cada um dos blocos e para a polia separadamente, após o sistema ser liberado.
b) Indique claramente, fazendo desenhos se necessário, quais são as forças de reação e onde elas atuam para cada uma das forças que atua no bloco A.
c) Escreva:
i) as componentes horizontal e vertical da segunda lei de Newton para os blocos A e B, em termos das trações, da aceleração da gravidade g, das massas dos blocos e da aceleração a dos blocos.
ii) a equação que descreve a dinâmica rotacional da polia, em termos das trações, da aceleração angular \alpha da polia, da massa e do raio da polia.
d) Encontre o valor do módulo da aceleração angular \alpha da polia e o módulo da aceleração a dos blocos A e B, em termos das massas, da aceleração da gravidade g e do raio da polia.
e) Encontre os valores dos módulos das trações T_{A} (no fio ligado ao bloco A ) e T_{B} (no fio ligado ao bloco B ), em termos das massas e da aceleração da gravidade g.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com um bloco A de massa m sobre uma mesa horizontal sem atrito, ligado por uma corda ideal a um bloco B também de massa m, passando por uma polia uniforme de massa M e raio R. A corda não desliza sobre a polia. Ao soltar o sistema, ambos os blocos aceleram com módulo a e a polia gira com aceleração angular \alpha. Vamos:
  1. Desenhar os diagramas de força.
  2. Identificar as forças de reação para o bloco A.
  3. Escrever as equações de Newton (translação para A e B e rotação para a polia).
  4. Resolver para a e \alpha.
  5. Determinar as tensões T_{A} e T_{B}.

Passo 2

Diagrama de forças após soltar o sistema:
Para o bloco A:
\;\bullet Tensão \,T_{A} puxando-o para a direita.
\;\bullet Peso \,m g para baixo.
\;\bullet Normal N para cima.
Para o bloco B:
\;\bullet Peso \,m g para baixo.
\;\bullet Tensão \,T_{B} para cima.
Para a polia (vista de lado):
\;\bullet Tensão \,T_{A} atuando tangencialmente num lado do raio para um sentido.
\;\bullet Tensão \,T_{B} no lado oposto.
\;\bullet Reação do eixo (R_x,R_y) aplicada no centro.

Passo 3

Para o bloco A, cada força e sua reação (par ação–reação de Newton):
Peso m g pela Terra sobre A; reação é A puxando a Terra com m g.
Normal N pela mesa sobre A; reação é A empurrando a mesa com N.
Tensão T_{A} pela corda sobre A; reação é A exercendo T_{A} na corda no sentido oposto.

Passo 4

Escolhendo para A o eixo x horizontal para a direita positivo e para B o eixo vertical para cima positivo, aplicamos \sum F=ma:
Para o bloco A, eixo x:
T_{A}=m\,a.
Eixo y (não há aceleração vertical):
N-mg=0.
Para o bloco B, eixo vertical (acelera para baixo com módulo a, então se tomarmos para cima positivo):
T_{B}-m g = -\,m\,a \quad\Longrightarrow\quad m g - T_{B} = m\,a.

Passo 5

Para a polia, a soma dos torques em torno do centro (torque positivo no sentido de B descendo) é
T_{B}\,R \;-\;T_{A}\,R \;=\;I\,\alpha,
onde I da polia (disco uniforme) é \displaystyle I=\tfrac12\,M\,R^2.

Passo 6

Como a corda não desliza, a aceleração linear a e angular \alpha obedecem
a=\alpha\,R.
Substituímos T_{A}=m\,a e T_{B}=m g - m a na equação de torque:
(m g - m a)R - (m a)R = \tfrac12\,M\,R^2\,(a/R) \;\Longrightarrow\; m g - 2m a = \tfrac12\,M\,a.
Isolando a:
m g = \Bigl(2m + \tfrac12 M\Bigr)a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2m}{4m+M}\;g.
Então
\alpha = \frac{a}{R} = \frac{2m}{4m+M}\;\frac{g}{R}.

Passo 7

As tensões são
T_{A} = m\,a = m\;\frac{2m}{4m+M}\,g = \frac{2\,m^2\,g}{4m+M},
T_{B} = m g - m a = m g - m\;\frac{2m}{4m+M}\,g = m g\,\frac{M+2m}{4m+M}.

Resposta

\displaystyle a = \frac{2\,m}{4m+M}\;g
\displaystyle \alpha = \frac{2\,m}{4m+M}\;\frac{g}{R}
\displaystyle T_{A} = \frac{2\,m^2\,g}{4m+M}
\displaystyle T_{B} = \frac{m\,g\,(M+2m)}{4m+M}

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